2007-天津卷理-14 填-两圆交点公共弦方程

本题导读

本题考查平面解析几何中两相交圆的公共弦直线方程的求法，旨在考查曲线方程的代数化简与消元能力。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(理)） 已知两圆 $x^2+y^2=10$ 和 $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=20$ 相交于 $A,B$ 两点，则直线 $AB$ 的方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将两圆的方程分别化为一般式方程（展开二次项并移项使右侧为0）；
2. 两个圆的一般式方程直接相减，消去二次项 $x^2$ 和 $y^2$，所得到的一元一次方程即为两圆公共弦 $AB$ 所在的直线方程。

✅【答案】

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$x+3y=0$

✍【详细解析】

Abstract

解： 设两圆方程分别为 $C_1$ 和 $C_2$： $C_1:x^2+y^2-10=0\text{(1)}$ 将第二个圆的方程展开整理： $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=20⟹x^2-2x+1+y^2-6y+9-20=0$ $C_2:x^2+y^2-2x-6y-10=0\text{(2)}$ ①式减去②式，消去二次项 $x^2+y^2$ 得： $(x^2+y^2-10)-(x^2+y^2-2x-6y-10)=0$ $2x+6y=0⟹x+3y=0$ 因为两圆相交，所以交点 $A,B$ 的坐标同时满足①和②，必然满足①-②所得的方程。 故直线 $AB$ 的方程是 $x+3y=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两相交圆的一般方程相减即得公共弦所在直线方程。
2. 核心方法：代数消元法。
3. 避坑指南：在展开 $(y-3{)}^2$ 时注意常数项和一次项符号，不要在展开时出错；最后结果需化为直线的标准一般式（$Ax+By+C=0$）或最简形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查圆与圆的位置关系中的相交弦问题，源于教材中“圆与圆的位置关系”一节的课后例题。
2. 结论推广：设圆 $C_1:x^2+y^2+D_{1}x+E_{1}y+F_1=0$ 与圆 $C_2:x^2+y^2+D_{2}x+E_{2}y+F_2=0$ 相交，则过两圆交点的相交弦（公共弦）直线方程恒为：$(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.04 圆与圆的位置关系
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-10 单-等比数列的性质
• 2021-新高考II卷-14 填-抽象函数性质