2014-大纲卷理-10 单-等比数列的性质

本题导读

本题考查等比数列的乘积性质与对数运算性质的综合应用。核心在于通过对数加法性质将求和问题转化为各项乘积问题，并利用等比数列“下标和相等则乘积相等”的性质快速求解。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_4=2$，$a_5=5$，则数列 $\{\lg a_n\}$ 的前 8 项和等于()

A. 6　　　　　　　B. 5　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

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1. 转化求和式：利用对数运算法则 $\lg M+\lg N=\lg (MN)$，将前 8 项之和 $\lg a_1+\lg a_2+\cdots +\lg a_8$ 转化为一个对数式 $\lg (a_1\cdot a_2\cdot \cdots \cdot a_8)$。
2. 利用等比数列性质：在等比数列中，若 $m+n=p+q$，则 $a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q$。由此可得： $a_1\cdot a_8=a_2\cdot a_7=a_3\cdot a_6=a_4\cdot a_5$。
3. 代入求值：已知 $a_4$ 和 $a_5$，计算其乘积，进而求出总乘积的对数值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用对数性质变形 设 $\{\lg a_n\}$ 的前 8 项和为 $S_8$： $S_8=\lg a_1+\lg a_2+\lg a_3+\lg a_4+\lg a_5+\lg a_6+\lg a_7+\lg a_8$ 根据对数加法法则： $S_8=\lg (a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7\cdot a_8)$

第二步：利用等比数列性质化简乘积 因为 $\{a_n\}$ 是等比数列，其对称项乘积相等： $a_1\cdot a_8=a_2\cdot a_7=a_3\cdot a_6=a_4\cdot a_5$ 已知 $a_4=2$，$a_5=5$，所以： $a_4\cdot a_5=2\times 5=10$ 则总乘积为： $a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7\cdot a_8=(a_4\cdot a_5{)}^4=10^4$

第三步：计算最终结果 代入原式： $S_8=\lg (10^4)$ 根据对数性质 $\lg 10^n=n$： $S_8=4$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列性质 $a_m\cdot a_n=a_{m+k}\cdot a_{n-k}$；对数公式 $\sum \lg a_i=\lg \prod a_i$。

2. 核心方法：“下标法”。处理数列积的问题，观察下标和是否相等是最高效的突破口。本题中 $1+8=2+7=3+6=4+5=9$。

3. 避坑指南：不要尝试去求首项 $a_1$ 和公比 $q$ 的具体值，虽然可以求出但计算量较大且容易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等差数列的下标和性质 $a_m+a_n=a_p+a_q$（若 $m+n=p+q$）。

2. 结论推广: 若 $\{a_n\}$ 为等比数列且项均为正，则 $\{{\log }_k{a}_n\}$ 为等差数列。

3. 方法推广: 面对数列求和与函数（如对数、指数）结合的题目，优先寻找数列项之间的内在联系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-09 单-等比数列的性质
• 2013-湖北卷理-18 解-等比数列的性质
• 2026-新高考I卷-14 填-等比数列