2007-安徽卷文-05 单-圆心到直线距离

本题导读

本题考查圆的一般方程，以及点到直线的距离。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)） 若圆 $x^2+y^2-2x-4y=0$ 的圆心到直线 $x-y+a=0$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $a$ 的值为 ()

A. $-2$ 或 $2$　　　B. $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$　　　C. $2$ 或 $0$　　　D. $-2$ 或 $0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 配方：$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$，圆心 $(1,2)$。
2. 点线距：$\frac{|1-2+a|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
3. $|a-1|=1$，解得 $a=0$ 或 $2$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2-2x-4y=0$ 配方得 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$，圆心为 $(1,2)$． 圆心到直线 $x-y+a=0$ 的距离为 $\frac{|1-2+a|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$ 所以 $|a-1|=1$，$a=0$ 或 $a=2$，故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆心到直线距离

核心方法：配方定圆心，点线距 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

避坑指南：距离含参数 $a$ 时绝对值方程两解都保留；别把圆心写成 $(2,4)$（那是 2 倍）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆的位置关系以”距离”为纲，圆心到直线距离是核心量

结论推广：相离、相切、相交对应 $d$ 与 $r$ 的三种大小关系

方法推广：含参数的对称圆、最值弦长问题在此模型上扩展

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2007-上海卷文-13 单-圆关于直线对称
• 2008-天津卷文-15 填-圆的对称与弦长
• 2010-湖南卷文-14 填-垂直平分线圆对称
• 2008-重庆卷文-15 填-圆心在对称轴上