2010-湖南卷文-14 填-垂直平分线圆对称

本题导读

考查对称与圆。$PQ$ 中点满足 $x+y=3$ 且 $k_{PQ}=1$，故垂直平分线 $l:x+y=3$（斜率 $-1$）；圆心 $(2,3)$ 关于 $l$ 的对称点为 $(0,1)$，对称圆 $x^2+(y-1{)}^2=1$。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(文)） 若不同两点 $P$，$Q$ 的坐标分别为 $(a,b)$，$(3-b,3-a)$，则线段 $PQ$ 的垂直平分线 $l$ 的斜率为 $\underline{}$，圆 $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=1$ 关于直线 $l$ 对称的圆的方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求 $PQ$ 斜率与中点坐标，发现中点横纵坐标之和恒为 3。
2. 由垂直得 $l$ 的斜率，进而写出 $l$ 的方程（与 $a,b$ 无关）。
3. 圆关于直线对称 $\Rightarrow$ 圆心关于直线对称，半径不变。

✅【答案】

点击查看答案

$-1$；$x^2+(y-1{)}^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$P$、$Q$ 是不同两点，$k_{PQ}=\frac{(3-a)-b}{(3-b)-a}=\frac{3-a-b}{3-a-b}=1$（分子分母相同且 $P\ne Q$，分母不为零）， 故垂直平分线 $l$ 的斜率为 $-1$. （2）$PQ$ 的中点坐标为 $\left(\frac{a+3-b}{2},\frac{b+3-a}{2}\right),$ 其横、纵坐标之和为 $\frac{a+3-b+b+3-a}{2}=3$，且 $l$ 过中点、斜率为 $-1$，故 $l$ 的方程为 $x+y=3$. 圆心 $(2,3)$ 关于直线 $x+y=3$ 的对称点：设为 $(x_0,y_0)$，则 $\{\begin{array}{l}\frac{y_0-3}{x_0-2}=1,\\ \frac{x_0+2}{2}+\frac{y_0+3}{2}=3,\end{array}$ 解得 $x_0=0$，$y_0=1$，即对称点为 $(0,1)$. 对称圆半径不变，仍为 1，故所求圆的方程为 $x^2+(y-1{)}^2=1$. 故填 $-1$；$x^2+(y-1{)}^2=1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：垂直平分线与圆的轴对称

核心方法：$PQ$ 中点恒满足 $x+y=3$ 且 $k_{PQ}=1$，得 $l:x+y=3$；圆心 $(2,3)$ 关于 $l$ 的对称点 $(0,1)$

避坑指南：垂直平分线与 $a,b$ 无关是本题的”隐藏彩蛋”：中点坐标相加恒为 3；求对称点用”垂直 $+$ 中点在对称轴上”双条件列方程组。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点关于直线对称：垂直（斜率互为负倒）与中点在对称轴上，两条方程联立。

结论推广：圆关于直线对称只动圆心、不变半径；对称轴是一般式时可用公式或方程组。

方法推广：先化简对称轴（本题恰为定直线），再套对称点程序，最后写圆的标准方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-05 单-圆关于直线对称
• 2009-广东卷文-13 填-圆的方程
• 2011-辽宁卷文-13 填-圆的方程弦等距
• 2009-重庆卷文-01 单-圆的方程