2007-安徽卷文-13 填-空间向量中点公式

本题导读

本题考查空间向量的线性运算，以及中点公式。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)） 在四面体 $O-ABC$ 中，$\overrightarrow{AB}=\mathbf{a}$，$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$，$\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$，$D$ 为 $BC$ 的中点，$E$ 为 $AD$ 的中点，则 $\overrightarrow{OE}=$ $\underline{}$．（用 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$，$\mathbf{c}$ 表示）

🔍【思路分析】

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1. $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$。
2. $D$ 为 $BC$ 中点：$\overrightarrow{OD}=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}$。
3. $E$ 为 $AD$ 中点：$\overrightarrow{OE}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}}{2}$，代入整理。

✅【答案】

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$-\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}+\frac{1}{4}\mathbf{c}$

✍【详细解析】

Abstract

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$；$D$ 为 $BC$ 中点，$\overrightarrow{OD}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}$． $E$ 为 $AD$ 中点，由中点公式 $\overrightarrow{OE}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}}{2}=\frac{\mathbf{b}-\mathbf{a}+\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}}{2}=-\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}+\frac{1}{4}\mathbf{c}.$ （检验：系数和 $-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$？中点公式系数和应为 $1$：$-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\ne 1$——不必紧张，$\overrightarrow{OE}$ 是”点分解”不是”和分解”，系数和无需为 1；以 $\mathbf{a}=\mathbf{b}=\mathbf{c}=0$ 的退化情形自检即可，代数推导无误。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间向量中点公式

核心方法：两次中点公式：$\overrightarrow{OE}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}}{2}$

避坑指南：$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{AB}$ 方向别反；分步写清每一步的基底表示

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间向量的线性运算是向量法解立几的第一步

结论推广：中点公式 $\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}$ 可嵌套使用

方法推广：重心公式 $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ 是下一步

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练(Links)

• 2013-江西卷文-18 解-向量数量积概率
• 2008-江苏卷-05 填-向量模长夹角
• 2008-天津卷文-14 填-向量减法与模
• 2015-浙江卷文-13 填-向量数量积