2013-江西卷文-18 解-向量数量积概率

本题导读

本题考查平面向量的数量积。核心在于坐标法、组合计数的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(文)） 小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋，游戏规则为：以 $O$ 为起点，再从 $A_1$，$A_2$，$A_3$，$A_4$，$A_5$，$A_6$（如图）这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 $X$，若 $X>0$ 就去打球，若 $X=0$ 就去唱歌，若 $X<0$ 就去下棋.

(1)写出数量积 $X$ 的所有可能取值；

(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

🔍【思路分析】

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1. 坐标：$A_1(0,1)$，$A_2(1,-1)$，$A_3(-1,-1)$，$A_4(1,1)$，$A_5(-1,1)$，$A_6(0,-1)$。
2. $X\in \{-2,-1,0,1\}$。
3. $P(X<0)=\frac{7}{15}$；$P(\text{不去唱歌})=\frac{11}{15}$。

✅【答案】

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(1)$X$ 的所有可能取值为 $-2$，$-1$，$0$，$1$ (2)去下棋的概率为 $\frac{7}{15}$，不去唱歌的概率为 $\frac{11}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

由图得各点坐标：$A_1(0,1)$，$A_2(1,-1)$，$A_3(-1,-1)$，$A_4(1,1)$，$A_5(-1,1)$，$A_6(0,-1)$。 （1） 从 6 点中任取两点，共 ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 个基本事件。逐对计算数量积 $X=\overrightarrow{O{A}_i}\cdot \overrightarrow{O{A}_j}$：

• $A_2\cdot A_5=-1-1=-2$，$A_3\cdot A_4=-1-1=-2$（共 2 对取 $-2$）；
• $A_1\cdot A_2=A_1\cdot A_3=A_1\cdot A_6=A_4\cdot A_6=A_5\cdot A_6=-1$（共 5 对取 $-1$）；
• $A_2\cdot A_3=A_2\cdot A_4=A_3\cdot A_5=A_4\cdot A_5=0$（共 4 对取 $0$）；
• $A_1\cdot A_4=A_1\cdot A_5=A_2\cdot A_6=A_3\cdot A_6=1$（共 4 对取 $1$）。 $2+5+4+4=15$ ✓。故 $X$ 的所有可能取值为 $-2$，$-1$，$0$，$1$。 （2） 去下棋即 $X<0$，含 $2+5=7$ 个基本事件： $P(X<0)=\frac{7}{15}.$ 去唱歌即 $X=0$，含 4 个基本事件，$P(X=0)=\frac{4}{15}$；“不去唱歌”为其对立事件： $P(\text{不去唱歌})=1-\frac{4}{15}=\frac{11}{15}.$ （去打球的概率为 $\frac{4}{15}$，三者概率和为 1，可作检验。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的数量积 + 古典概型

核心方法：$A_1(0,1)$，$A_2(1,-1)$，$A_3(-1,-1)$，$A_4(1,1)$，$A_5(-1,1)$，$A_6(0,-1)$；${\mathrm{C}}_6^2=15$ 对，$X<0$ 恰 7 对 → $P=\frac{7}{15}$；$X=0$ 恰 4 对 → $P(\text{不去唱歌})=1-\frac{4}{15}=\frac{11}{15}$

避坑指南：“任取两点”是组合 ${\mathrm{C}}_6^2=15$（无序），不是排列；数量积逐对算时零向量不能当终点（$O$ 不在六点中）；“不去唱歌”用对立事件 $1-\frac{4}{15}$ 最快，别把 $X>0$ 的 4 对直接当分母写错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量数量积的符号分类与古典概型（组合计数）。

结论推广：坐标法算数量积；组合数定总数；对立事件。

方法推广：列表算 15 对数量积 → 按符号分类计数 → 求概率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-17 解-古典概型
• 2013-新课标I卷文-03 单-古典概型
• 2013-北京卷文-16 解-空气质量概率