2007-安徽卷文-16 解-绝对值不等式恒负因子

本题导读

本题考查绝对值不等式。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)） 解不等式：$\left(\left|3x-1\right|-1\right)\left(\sin x-2\right)>0$．

🔍【思路分析】

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1. 对任意实数 $x$，$\sin x⩽1<2$，故因子 $\sin x-2<0$ 恒成立。
2. 两因子之积为正，故 $|3x-1|-1<0$，即 $|3x-1|<1$。
3. 解绝对值不等式得 $0<x<\frac{2}{3}$。

✅【答案】

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解集为 $\left\{x\mid 0<x<\frac{2}{3}\right\}$

✍【详细解析】

Abstract

因为对任意 $x\in \mathbf{R}$，$\sin x⩽1$，所以 $\sin x-2<0$ 恒成立． 因而原不等式等价于 $|3x-1|-1<0$，即 $|3x-1|<1$． 所以 $-1<3x-1<1$，解得 $0<x<\frac{2}{3}$． 故原不等式的解集为 $\left\{x\mid 0<x<\frac{2}{3}\right\}$． （方法点睛：两因子一正一负时积为负、同号时积为正；先判断”恒定符号”的因子，可把双因子问题降为一元绝对值不等式。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值不等式恒负因子

核心方法：先定恒负因子 $\sin x-2<0$，转化 $|3x-1|<1$

避坑指南：“积为正 = 同号”，恒负因子的存在把问题降为一重；解集写成集合形式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解不等式解答题第一题，以”恒定符号因子”降低复杂度

结论推广：两因式积的正负 = 符号相同/相反；先锁定恒定符号的因子

方法推广：升级：三因子、含参因子的符号讨论

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练(Links)

• 2007-新课标卷文-24 解-绝对值不等式与分段函数最值
• 2008-四川卷文-05 单-绝对值二次不等式
• 2008-上海卷文-01 填-绝对值不等式
• 2008-广东卷文-10 单-含绝对值不等式性质