2007-安徽卷文-17 解-四棱台共面垂直二面角

本题导读

本题考查空间向量的共面。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)） 如图，在六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，四边形 $ABCD$ 是边长为 $2$ 的正方形，四边形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是边长为 $1$ 的正方形，$D{D}_1\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，$D{D}_1\perp$ 平面 $ABCD$，$D{D}_1=2$． （1）求证：$A_1{C}_1$ 与 $AC$ 共面，$B_1{D}_1$ 与 $BD$ 共面； （2）求证：平面 $A_{1}AC{C}_1\perp$ 平面 $B_{1}BD{D}_1$； （3）求二面角 $A-B{B}_1-C$ 的大小．（用反三角函数值表示） 第 17 题图

🔍【思路分析】

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1. （1）建系（$D$ 为原点，$DC$、$DA$、$D{D}_1$ 为 $x$、$y$、$z$ 轴），写出八点坐标；$\overrightarrow{A_1{C}_1}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ 说明 $A_1{C}_1\parallel AC$，平行两线必共面；$B_1{D}_1$ 同理。
2. （2）$AC\perp BD$ 且 $AC\perp D{D}_1$，$BD\cap D{D}_1=D$，故 $AC\perp$ 平面 $B_{1}BD{D}_1$；又 $AC\subset$ 平面 $A_{1}AC{C}_1$。
3. （3）过 $B$ 作平面垂直于 $B{B}_1$，把 $\overrightarrow{BA}$、$\overrightarrow{BC}$ 投影到该平面，两投影向量的夹角即二面角平面角；或用法向量 $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}$。

✅【答案】

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（1）见解析；（2）见解析；（3）$\arccos \left(-\frac{1}{5}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）建立空间直角坐标系，取 $D$ 为原点，令 $DC$，$DA$，$D{D}_1$ 分别为 $x$，$y$，$z$ 轴的正方向．由题意可取 $D(0,0,0)$，$C(2,0,0)$，$A(0,2,0)$，$B(2,2,0)$，$D_1(0,0,2)$，$C_1(1,0,2)$，$A_1(0,1,2)$，$B_1(1,1,2)$． 因此 $\overrightarrow{A_1{C}_1}=(1,-1,0)=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{B_1{D}_1}=(-1,-1,0)=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$，所以 $A_1{C}_1\parallel AC$，$B_1{D}_1\parallel BD$，从而 $A_1{C}_1$ 与 $AC$ 共面，$B_1{D}_1$ 与 $BD$ 共面． （2）在正方形 $ABCD$ 中，$AC\perp BD$；又 $D{D}_1\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $AC\perp D{D}_1$． 直线 $BD$ 与 $D{D}_1$ 是平面 $B_{1}BD{D}_1$ 内相交于点 $D$ 的两条直线，故 $AC\perp$ 平面 $B_{1}BD{D}_1$． 又 $AC\subset$ 平面 $A_{1}AC{C}_1$，所以平面 $A_{1}AC{C}_1\perp$ 平面 $B_{1}BD{D}_1$． （3）设 $\mathbf{u}=\overrightarrow{B{B}_1}=(-1,-1,2)$，则 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}=6$．过 $B$ 作平面垂直于 $B{B}_1$，将 $\overrightarrow{BA}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 投影到这个平面上，所得两个方向向量分别为 $\mathbf{p}=\overrightarrow{BA}-\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}\mathbf{u}=(-2,0,0)-\frac{1}{3}(-1,-1,2)=\left(-\frac{5}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right),$ $\mathbf{q}=\overrightarrow{BC}-\frac{\overrightarrow{BC}\cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}\mathbf{u}=(0,-2,0)-\frac{1}{3}(-1,-1,2)=\left(\frac{1}{3},-\frac{5}{3},-\frac{2}{3}\right).$ 这两个方向所成的角就是二面角 $A-B{B}_1-C$ 的平面角 $\theta$．于是 $\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}=-\frac{2}{3}$，且 $|\mathbf{p}{|}^2=|\mathbf{q}{|}^2=\frac{10}{3}$，所以 $\cos \theta =\frac{\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}}{|\mathbf{p}||\mathbf{q}|}=\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{10}{3}}=-\frac{1}{5}.$ 故二面角 $A-B{B}_1-C$ 的大小为 $\arccos \left(-\frac{1}{5}\right)$． （另法核验：取平面 $A_{1}AC{C}_1$ 与平面 $B_{1}BD{D}_1$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_1=(1,1,0)$、${\mathbf{n}}_2=(1,-1,1)$，$\cos ⟨{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2⟩=\frac{0}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}=0$，两平面垂直与（2）一致；二面角沿棱 $B{B}_1$ 方向的投影法与上式一致，$-\frac{1}{5}$ 无误。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱台共面垂直二面角

核心方法：坐标法一条龙：平行向量证共面、线面垂直证面面垂直、投影向量求二面角

避坑指南：投影法 $\mathbf{p}=\overrightarrow{BA}-\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}\mathbf{u}$ 别漏系数；二面角为钝角时 $\cos \theta <0$，写反三角别取绝对值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：立几解答题一题两法（向量法 + 综合法）是安徽卷传统，文理同题

结论推广：四棱台（正方形叠放）的建系：上下底面中心对齐，坐标含分数别怕

方法推广：投影法求二面角与法向量法等价，二选一验算另一法

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 21.03 空间向量求角

类题演练(Links)

• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2007-天津卷文-19 解-四棱锥线面角与二面角
• 2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角