2007-天津卷文-19 解-四棱锥线面角与二面角

本题导读

本题考查直线与平面所成角。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp$ 底面 $ABCD$，$AB\perp AD$，$AC\perp CD$，$\angle ABC=60^{\circ }$，$PA=AB=BC$，$E$ 是 $PC$ 的中点． （1）求 $PB$ 和平面 $PAD$ 所成的角的大小； （2）证明 $AE\perp$ 平面 $PCD$； （3）求二面角 $A-PD-C$ 的大小．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 不妨设 $PA=AB=BC=1$；$AB\perp AD$ 取 $AD$ 为 y 轴、$AB$ 为 x 轴、$AP$ 为 z 轴建系。
2. 由 $\angle ABC=60^{\circ }$、$BC=1$ 定 $C$；由 $AC\perp CD$ 定 $D(0,\frac{2}{\sqrt{3}},0)$。
3. （1）平面 $PAD$ 即 $x=0$，$\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{PB}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{PB}|}$。（2）算 $\overrightarrow{AE}$ 与 $\overrightarrow{PC}$、$\overrightarrow{PD}$ 的数量积。（3）两半平面法向量 ${\mathbf{n}}_1=(1,0,0)$、${\mathbf{n}}_2=\overrightarrow{PC}\times \overrightarrow{PD}$。

✅【答案】

点击查看答案

（1）$\frac{\pi }{4}$；（2）证明见解析；（3）$\arccos \frac{\sqrt{2}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

不妨设 $PA=AB=BC=1$．以 $A$ 为原点、$AB$、$AD$、$AP$ 所在直线为 $x$、$y$、$z$ 轴建系，则 $A=(0,0,0),B=(1,0,0),P=(0,0,1).$ 由 $BC=1$、$\angle ABC=60^{\circ }$，可取 $C=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$；设 $D=(0,d,0)$，由 $AC\perp CD$： $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)\cdot \left(-\frac{1}{2},d-\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)=-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(d-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0⟹d=\frac{2}{\sqrt{3}},$ 即 $D=\left(0,\frac{2}{\sqrt{3}},0\right)$． （1） 平面 $PAD$（即平面 $x=0$）的一个法向量为 $\mathbf{n}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{PB}=(1,0,-1)$．设 $PB$ 与平面 $PAD$ 所成角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{PB}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{PB}||\mathbf{n}|}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$ 故 $\theta =\frac{\pi }{4}$． （2） $E$ 是 $PC$ 的中点，$E=\left(\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{AE}=\left(\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{1}{2}\right)$． $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{PC}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot (-1)=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}-\frac{1}{2}=0,$ $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{PD}=\frac{1}{4}\cdot 0+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\cdot (-1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.$ $PC$ 与 $PD$ 是平面 $PCD$ 内相交于 $P$ 的两条直线，故 $AE\perp$ 平面 $PCD$． （3） 平面 $PAD$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_1=(1,0,0)$；平面 $PCD$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_2=\overrightarrow{PC}\times \overrightarrow{PD}=\left(\frac{1}{2\sqrt{3}},\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{3}}\right).$ 设二面角 $A-PD-C$ 的大小为 $\phi$，则 $\cos \phi =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{1}{12}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}}}=\frac{\sqrt{2}}{4},$ 故二面角 $A-PD-C$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{2}}{4}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥线面角与二面角

核心方法：建系定 D 用 AC⊥CD

避坑指南：设 D=(0,d,0) 后用 AC·CD=0 解 d；二面角取两法向量夹角（绝对值）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间向量法求角

结论推广：sinθ=|v·n|/(|v||n|) 求线面角

方法推广：建系先由垂直条件定全部顶点坐标

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练(Links)

• 2008-天津卷文-19 解-四棱锥垂直与二面角
• 2008-湖南卷文-18 解-四棱锥垂直与二面角