2007-安徽卷理-01 单-函数图象对称性

本题导读

本题考查反函数的概念及其几何意义。核心在于理解“反函数是其自身”在几何上表现为函数图象关于直线 $y=x$ 轴对称，或在代数上满足 $f(f(x))=x$。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)） 下列函数中，反函数是其自身的函数为()

A. $f(x)=x^2,x\in [0,+\infty )$　　　　　　B. $f(x)=x^3,x\in (-\infty ,+\infty )$

C. $f(x)={\text{e}}^x,x\in (-\infty ,+\infty )$　　　　　　D. $f(x)=\frac{1}{x},x\in (0,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反函数基本性质：若反函数是其自身，意味着将原函数方程 $y=f(x)$ 中的 $x$与 $y$ 互换位置后，解出的新方程与原解析式完全相同。

2. 几何特征转化：函数的反函数图象与原函数图象关于直线 $y=x$ 对称。若反函数是自身，则原函数的图象自身必须关于直线 $y=x$ 对称。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：通过将各选项中的 $x,y$ 互换，反解解析式进行验证：

• 对于 A 项：由 $y=x^2$ ($x\ge 0$)，互换得 $x=y^2$ ($y\ge 0$)，反解得 $y=\sqrt{x}$，非其自身，排除；
• 对于 B 项：由 $y=x^3$，互换得 $x=y^3$，反解得 $y=\sqrt[3]{x}$，非其自身，排除；
• 对于 C 项：由 $y={\text{e}}^x$，互换得 $x={\text{e}}^y$，反解得 $y=\ln x$，非其自身，排除；
• 对于 D 项：由 $y=\frac{1}{x}$ ($x>0$)，互换得 $x=\frac{1}{y}$，反解得 $y=\frac{1}{x}$ ($x>0$)，与其自身完全相同。

几何上看，反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ ($x>0$) 的图象是一条关于直线 $y=x$ 轴对称的双曲线分支。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的代数方程互换规则、函数图象关于 $y=x$ 的对称特征。
2. 核心方法： $x-y$ 直接互换法。
3. 避坑指南：

• 注意定义域的刚性制约。D项中虽然只有 $x>0$ 分支，但整个分支完全关于 $y=x$ 对称，满足反函数是其自身的前提条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自高中数学必修一反函数的性质，是考查基本概念形态的送分题。

2. 结论推广: 常见的“反函数是其自身”的经典函数通式包含：① $f(x)=x$；② $f(x)=-x+c$（斜率为 $-1$ 的直线）；③ $f(x)=\frac{k}{x}$（反比例函数）。

🔗【关联脉络】

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• 05.01 函数的概念