2026-北京卷-08 单-三角函数的图像性质

本题导读

本题考查三角函数图象的平移与对称变换。第一步根据“左加右减”原则写出平移后的函数 $g(x)$ 解析式；第二步利用“关于 $x$ 轴对称”的代数充要条件建立三角恒等式；第三步结合正弦函数的周期性列出通项方程，并在限定区间 $[0,2\pi )$ 内通过整数赋值确定满足条件的 $\phi$ 的个数。

📌【题干】

Question

（2026年北京卷）已知 $f(x)=\sin (x+\phi )$ ($0\le \phi <2\pi$).将 $f(x)$ 的图象向右平移 $3\phi$ 个单位得 $g(x)$，若 $g(x)$ 的图象与 $f(x)$ 的图象关于 $x$ 轴对称，则满足条件的 $\phi$ 的个数为()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：求解平移后的解析式 $g(x)$：根据自变量平移“右减”的规则，将 $f(x)=\sin (x+\phi )$ 中的 $x$ 整体替换为 $x-3\phi$，化简得到 $g(x)=\sin (x-2\phi )$。
2. 第二步：建立对称性等式：两个函数图象关于 $x$ 轴对称，意味着它们在相同自变量 $x$ 处的函数值互为相反数，即 $g(x)=-f(x)$。
3. 第三步：解三角方程通项：利用诱导公式 $-\sin \theta =\sin (\theta +\pi )$，将 $-f(x)$ 转化为标准正弦形式，利用对应角相等的周期性规律 $-2\phi =\phi +\pi +2k\pi$ （$k\in \mathbb{Z}$）解出 $\phi$ 的通项公式。
4. 第四步：区间筛选控制：将 $k$ 赋予不同的整数值，筛选出符合定义域 $0\le \phi <2\pi$ 的所有解并计数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

已知原函数为 $f(x)=\sin (x+\phi )$。 将 $f(x)$ 的图象向右平移 $3\phi$ 个单位 : $g(x)=\sin [(x-3\phi )+\phi ]=\sin (x-2\phi )$

若函数 $g(x)$ 的图象与 $f(x)$ 的图象关于 $x$ 轴中心对称，则对于任意实数 $x$，即满足： $g(x)=-f(x)$ 代入解析式得： $\sin (x-2\phi )=-\sin (x+\phi )$

利用三角函数的诱导公式 $-\sin \theta =\sin (\theta +\pi )$: $\sin (x-2\phi )=\sin (x+\phi +\pi )$

要使上述等式对一切 $x\in \mathbb{R}$ 恒成立，则： $x-2\phi =x+\phi +\pi +2k\pi (k\in \mathbb{Z})$

解得 $\phi$ ： $\phi =-\frac{\pi }{3}-\frac{2k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$

因为 $0\le \phi <2\pi$，代入不等式中： $0\le -\frac{\pi }{3}-\frac{2k\pi }{3}<2\pi$ 解得： $-\frac{7}{2}<k\le -\frac{1}{2}⟹-3.5<k\le -0.5$

因为 $k$ 取整数（$k\in \mathbb{Z}$），故 $k$ 的取值为： $k=-1,k=-2,k=-3$

分别将这三个整数代回通项公式中计算对应的 $\phi$ 值：

• 当 $k=-1$ 时： $\phi =-\frac{\pi }{3}-\frac{2(-1)\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$；
• 当 $k=-2$ 时： $\phi =-\frac{\pi }{3}-\frac{2(-2)\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}=\pi$；
• 当 $k=-3$ 时： $\phi =-\frac{\pi }{3}-\frac{2(-3)\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+\frac{6\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$。

所求得的解 $\{\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3}\}$ 均严格属于 $[0,2\pi )$ 范围内，满足条件的 $\phi$ 共有 3 个。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数图象平移的初相修配（$x\to x\pm d$）；图象对称性的代数恒等式转化；周期性一元一次三角方程的整数解区间覆盖。
2. 核心方法：初相相等通项法。
3. 避坑指南：

• 平移对象错误：平移变换 $3\phi$ 是直接作用在自变量 $x$ 上的，必须写成 $\sin ((x-3\phi )+\phi )$，部分学生容易误记为整体外加，错写成 $\sin (x+\phi )-3\phi$ 或错将整个初相进行减法写成 $\sin (x+\phi -3\phi )$，导致后续满盘皆输。
• 漏掉周期通项：在解 $\sin A=\sin B$ 导出的初相方程时，必须在右侧加上周期项 $2k\pi$。如果只看成简易方程 $-2\phi =\phi +\pi ⟹\phi =-\frac{\pi }{3}$，不仅会因为其为负数在定义域外将其错误舍去，更会严重漏掉其余在正值区间内的合法解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是普通高中教科书数学必修第二册“三角函数”章节中关于“函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象变换”的综合压轴选择题。
2. 结论推广： 对于任意正弦型函数 $f(x)=\sin (x+\phi )$，向右平移 $\Delta x$ 得到 $g(x)$。若要求 $g(x)$ 与 $f(x)$ 关于 $x$ 轴对称（即相位差为 $\pi$ 的奇数倍），则平移距离 $\Delta x$ 必须与初相满足严格的独立线性方程： $\Delta x=\pi +2k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 在本题中，由于平移距离 $\Delta x=3\phi$，直接代入该推广几何结论可得 $3\phi =\pi +2k\pi$ （即本题中 $k$ 变换符号后的形式）。掌握此核心相位差定理，可以在考场上跳过复杂的平移代入与诱导公式变形，直接实现秒杀列出核心通项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-安徽卷理-01 单-函数图象对称性
• 2007-湖北卷理-02 单-向量平移几何变换
• 2008-大纲卷II文-04 单-奇函数图象对称