2007-安徽卷理-06 单-简谐波左右平移变换

本题导读

本题考查正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 的图像变换与核心几何性质。需要通过对“对称轴”、“单调区间”以及“平移量”这三个独立论断进行基于整体相位的定性定量分析，最终判定出正确命题的个数。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)） 函数 $f(x)=3\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象为 $C$， ① 图像 $C$ 关于直线 $x=\frac{11}{12}\pi$ 对称； ② 函数 $f(x)$ 在区间 $\left(-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\right)$ 内是增函数； ③ 由 $y=3\sin 2x$ 的图像向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度可以得到图像 $C$。 以上三个论断中，正确论断的个数是()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析论断①（对称轴）：正弦曲线取得最大值或最小值处对应对称轴。将 $x=\frac{11}{12}\pi$ 整体代入核心相位表达式 $\theta =2x-\frac{\pi }{3}$ 中，检查其计算结果是否为 $\frac{\pi }{2}+k\pi$ 的波峰或波谷形态。

2. 分析论断②（单调性）：正弦函数 $y=\sin \theta$ 的单调递增区间对应相位范围为 $\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$。利用整体思想，令 $-\frac{\pi }{2}\le 2x-\frac{\pi }{3}\le \frac{\pi }{2}$ 解出单调增区间，核对已知区间是否为其子集。

3. 分析论断③（图象平移）：依据“左加右减”的平移公理，图象向右平移 $\Delta x$ 需将所有的自变量 $x$ 替换为 $(x-\Delta x)$。代入平移量 $\frac{\pi }{3}$ 展开比对。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

解：我们依次对三个论断进行严密的数学核校：

• 核校论断①： 正弦型函数 $f(x)=3\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 的对称轴必然在曲线达到最高点或最低点处取得。 将 $x=\frac{11}{12}\pi$ 作为整体输入代入函数的相位结构中： $\theta =2\times \frac{11}{12}\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{11}{6}\pi -\frac{2}{6}\pi =\frac{9}{6}\pi =\frac{3\pi }{2}$ 代回原函数： $f\left(\frac{11}{12}\pi \right)=3\sin \left(\frac{3\pi }{2}\right)=3\times (-1)=-3(\text{达到波谷绝对极小值})$ 因为函数在全域切出极值波谷，说明此处的垂直直线 $x=\frac{11}{12}\pi$ 刚性属于函数图像的一条标准对称轴。 故论断①正确。

• 核校论断②： 运用整体代换法求解正弦型函数的标准单调递增区间。令基本相位落在第一、四象限内： $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x-\frac{\pi }{3}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 各项同时加上 $\frac{\pi }{3}$： $-\frac{\pi }{6}+2k\pi \le 2x\le \frac{5\pi }{6}+2k\pi$ 各项同时除以 2， 解得该函数的所有单调递增全集区间为： $-\frac{\pi }{12}+k\pi \le x\le \frac{5\pi }{12}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 当取 $k=0$ 时， 其标准递增区间恰好为 $\left[-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\right]$。 已知给定的开区间 $\left(-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\right)$ 完美作为子集包含在上述闭区间内部。 故论断②正确。

• 核校论断③： 根据函数图象平移的“左加右减”规则：将函数 $y=3\sin 2x$ 的图像向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度， 意味着必须将了解式中所有的独立自变量 $x$ 替换为 $\left(x-\frac{\pi }{3}\right)$。 平移后新得到的函数解析式为： $y_{\text{新}}=3\sin \left[2\left(x-\frac{\pi }{3}\right)\right]=3\sin \left(2x-\frac{2\pi }{3}\right)$ 比对发现， 这一结果与图像 $C$ 对应的已知解析式 $y=3\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 中的初相不相等（相差了 $\frac{\pi }{3}$）。 (注：如果要得到图像 $C$， 平移量应为： $2(x-\Delta x)=2x-\frac{\pi }{3}⟹2\Delta x=\frac{\pi }{3}⟹\Delta x=\frac{\pi }{6}$，即应向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位)。 故论断③错误。

综合上述判定， 正确的论断有 ① 和 ②， 共有 2 个。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数对称轴的相位代入判别（等于 $\frac{\pi }{2}+k\pi$）、整体法解三角单调区间、图象平移中“针对自变量 $x$ 整体外加括号”的硬性规定。
2. 核心方法：整体代换法、左加右减平移变换法。
3. 避坑指南：

• 论断③是极易翻车的失分盲点。图象左右平移时，动作对象是独立变元 $x$，必须先加括号再把系数 2 乘进去。很多同学粗心认为平移 $\frac{\pi }{3}$ 就是在后面直接减 $\frac{\pi }{3}$，从而误判③也是对的。一定要牢记“平移量 = 初相差 $÷\omega$”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查三角函数图象与性质的经典复合题，全面扫描了高考中关于正弦波形的三大核心考察维度。

2. 结论推广: 针对任何形如 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 变换至 $y=A\sin (\omega x+{\varphi }^{\prime })$ 的平移问题， 其在 $x$ 轴上的真实几何平移量恒为 $\Delta x=\frac{|\varphi -{\varphi }^{\prime }|}{\omega }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.01 不等式解法体系
• 08.01 函数图象变换、模型与零点