2007-广东卷文-09 单-简谐运动周期与初相

本题导读

本题考查简谐运动，以及正弦型函数的周期与初相。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(文)） 已知简谐运动 $f(x)=2\sin \left(\frac{\pi }{3}x+\phi \right)$（$|\phi |<\frac{\pi }{2}$）的图象经过点 $(0,1)$，则该简谐运动的最小正周期 $T$ 和初相 $\phi$ 分别为 ()

A. $T=6$，$\phi =\frac{\pi }{6}$　　　B. $T=6$，$\phi =\frac{\pi }{3}$　　　C. $T=6\pi$，$\phi =\frac{\pi }{6}$　　　D. $T=6\pi$，$\phi =\frac{\pi }{3}$

🔍【思路分析】

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1. 角频率 $\omega =\frac{\pi }{3}$，$T=\frac{2\pi }{\pi /3}=6$。
2. 图象过 $(0,1)$：$2\sin \phi =1$，$\sin \phi =\frac{1}{2}$。
3. $|\phi |<\frac{\pi }{2}$ 内满足的是 $\phi =\frac{\pi }{6}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

角频率 $\omega =\frac{\pi }{3}$，所以最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\pi /3}=6$． 又图象经过 $(0,1)$，得 $2\sin \phi =1$，即 $\sin \phi =\frac{1}{2}$． 结合 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$，得 $\phi =\frac{\pi }{6}$（$\phi =\frac{5\pi }{6}$ 超出范围舍去）． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：简谐运动周期与初相

核心方法：$T=\frac{2\pi }{\omega }=6$；$2\sin \phi =1$ 且 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$ 取 $\frac{\pi }{6}$

避坑指南：初相受 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$ 限制，$\frac{5\pi }{6}$ 舍去；$T=6$ 与 $6\pi$ 由 $\omega =\frac{\pi }{3}$ 决定，先算 $\omega$ 再算 $T$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：简谐运动 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的周期与初相是新课标三角小题标准考法，2014 广东理 16 同源

结论推广：由 $\omega$ 定周期、由特殊点定初相、由范围筛选初相，三步定型

方法推广：正弦型函数定参问题：周期定 $\omega$、特殊点定 $\phi$、范围去多解

🔗【关联脉络】

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