2010-湖北卷理-09 单-直线与半圆的

本题导读

本题考查直线与半圆（含根号的二次函数）有公共点时参数的取值范围，重点在于利用数形结合确定相切和过端点的临界状态。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 若直线 $y=x+b$ 与曲线 $y=3-\sqrt{4x-x^2}$ 有公共点，则 $b$ 的取值范围是 ()

A. $[-1,1+2\sqrt{2}]$　　B. $[1-2\sqrt{2},1+2\sqrt{2}]$　　C. $[1-2\sqrt{2},3]$　　D. $[1-\sqrt{2},3]$

🔍【思路分析】

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1. 将曲线方程 $y=3-\sqrt{4x-x^2}$ 变形为 $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=4$（注意范围 $y\le 3,0\le x\le 4$），判断其几何图形为下半圆。
2. 画出直线 $y=x+b$ 与下半圆的图象。
3. 寻找临界位置：直线与半圆相切（下切）时的 $b$ 值；直线经过半圆端点 $(0,3)$ 和 $(4,3)$ 时的 $b$ 值，从而确定 $b$ 的范围。

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C

✍【详细解析】

Abstract

将曲线方程变形： $y-3=-\sqrt{4x-x^2}⟹(y-3{)}^2=4x-x^2⟹(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=4$ 由于 $-\sqrt{4x-x^2}\le 0$，故 $y\le 3$，且根号下 $4x-x^2\ge 0⟹0\le x\le 4$。 因此，该曲线是以 $C(2,3)$ 为圆心、半径 $R=2$ 的圆的下半圆，端点为 $M(0,3)$ 和 $N(4,3)$。

直线 $y=x+b$ 即 $x-y+b=0$，其斜率固定为 $1$，$b$ 为 $y$ 轴截距。

1. 上临界（过端点 $M(0,3)$）： 当直线过点 $(0,3)$ 时，代入得 $3=0+b⟹b=3$。 此时直线与下半圆有 1 个公共点（端点 $M$）。若 $b>3$，直线在端点上方，无公共点。故 $b\le 3$。

2. 下临界（直线与下半圆相切）： 当直线 $x-y+b=0$ 与圆相切时，圆心 $C(2,3)$ 到直线的距离等于半径 $R=2$： $d=\frac{|2-3+b|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=2⟹|b-1|=2\sqrt{2}⟹b=1\pm 2\sqrt{2}$ 结合图象，相切于下半圆时，直线位于下方，截距较小，故取 $b=1-2\sqrt{2}$。

综合可知，当 $1-2\sqrt{2}\le b\le 3$ 时，直线与下半圆始终存在公共点。 故选 C.。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：带根号的曲线的几何本质（半圆）、直线与圆的位置关系。
2. 核心方法：数形结合法，通过作图精准寻找切线与端点两种临界状态。
3. 避坑指南：平方去根号时容易忽略 $y\le 3$ 的限制而误认为整圆；若按整圆处理相切，会算得 $b=1+2\sqrt{2}$（对应上半圆相切），导致错选 A. 或 B.。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版必修二《圆与方程》中含参直线与半圆相交的典型高考经典题。
2. 结论推广：形如 $y=k\pm \sqrt{R^2-(x-h{)}^2}$ 表示半圆，求解与其相关的线性目标函数或相交问题时，画图锁定端点和切点是通用解题策略。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-04 单-直线与平面位置关系
• 2011-湖北卷文-14 填-直线与圆弦长
• 2011-湖南卷理-21 解-直线与圆