2007-安徽卷理-13 填-向量加减法几何意义

本题导读

本题考查空间向量的基底线性表达。核心在于连续运用空间向量的中点性质（即从同一起点出发指向线段中点的向量等于指向两端点向量和的一半），逐步将未知向量 $\overrightarrow{OE}$ 用基底 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 进行无损替代。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)） 在四面体 $O-ABC$ 中， $\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}$， $D$ 为 $BC$ 的中点， $E$ 为 $AD$ 的中点，则 $\overrightarrow{OE}=$ ________. （用 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 表示）

🔍【思路分析】

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1. 利用 $E$ 是 $AD$ 中点进行第一步分解：由中点向量公式， 从原点 $O$ 出发指向 $AD$ 中点的向量满足 $\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}\right)$。

2. 利用 $D$ 是 $BC$ 中点进行第二步分解：同理， 指向 $BC$ 中点的向量满足 $\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)=\frac{1}{2}\left(\vec{b}+\vec{c}\right)$。

3. 还原起点 $O$ 统一基底：题目中已知 $\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b}$。根据向量减法的三角形法则， 变换出 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$。将所有分量整体代入汇总。

✅【答案】

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$-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}$

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $E$ 是线段 $AD$ 的中点， 根据空间向量的中点性质定理， 对于空间内任意原点 $O$， 恒有： $\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}\right)\text{(1)}$

因为 $D$ 是线段 $BC$ 的中点， 同理可得： $\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\text{(2)}$

题目中给定的已知基底向量为： $\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c},\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ 将 $\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}$ 代入等式②中， 得到 $\overrightarrow{OD}$ 的基底表示： $\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\left(\vec{b}+\vec{c}\right)$

再分析向量 $\overrightarrow{OA}$：根据平面/空间向量的减法三角形首尾相接法则： $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{AB}$ 代入基底已知符号： $\overrightarrow{OA}=\vec{b}-\vec{a}$

最后将求得的 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OD}$ 的表达式统一代回核心代数方程①式中： $\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}\left[(\vec{b}-\vec{a})+\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})\right]$ 对括号内的多项式进行同类项合并： $\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}\left(-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}\right)=\frac{1}{2}\left(-\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}\right)$ 将外面的系数 $\frac{1}{2}$ 乘进去， 最终求得： $\overrightarrow{OE}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：中点向量公式的级联嵌套、向量起点的平移归一变换（ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{AB}$）。
2. 核心方法：中点代换基底化简法。
3. 避坑指南：

• 极其容易在变换 $\overrightarrow{OA}$ 时看错方向。减法法则是“指向终点减去指向起点”， 故 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}⟹\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{AB}$。不要因写反符号导致最终答案中的 $\vec{a}$ 正负号颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间向量的线性运算、向量的加减法几何意义（中点公式）是安徽卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是空间向量的线性运算、向量的加减法几何意义（中点公式）的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用基底法（首尾相接消元法）、中点向量恒等代换法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷I文-16 填-椭圆离心率
• 2010-广东卷理-10 填-立体几何
• 2013-四川卷理-12 填-向量加法的平行四边形法则