2010-大纲卷I文-16 填-椭圆离心率

本题导读

考查椭圆离心率。$D$ 代入得 $\frac{9c^2}{4a^2}+\frac{1}{4}=1$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)） 已知 $F$ 是椭圆 $C$ 的一个焦点，$B$ 是短轴的一个端点，线段 $BF$ 的延长线交 $C$ 于点 $D$，且 $\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FD}$，则 $C$ 的离心率为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $F(c,0)$，$B(0,b)$。
2. $\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FD}\Rightarrow D=F+\frac{1}{2}(F-B)=\left(\frac{3c}{2},-\frac{b}{2}\right)$。
3. 代入 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$：$\frac{9c^2}{4a^2}+\frac{1}{4}=1$。
4. $\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{3}$，$e=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆长半轴为 $a$，短半轴为 $b$，半焦距为 $c$，取 $F(c,0)$，$B(0,b)$。 由 $\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FD}$，得 $D=F+\frac{1}{2}\overrightarrow{BF}=F+\frac{1}{2}(F-B)=\left(\frac{3c}{2},-\frac{b}{2}\right).$ 因为 $D$ 在椭圆上， $\frac{1}{a^2}{\left(\frac{3c}{2}\right)}^2+\frac{1}{b^2}{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2=1⟺\frac{9c^2}{4a^2}+\frac{1}{4}=1,$ 所以 $\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{3}$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程与向量条件求离心率

核心方法：向量关系表出 $D$ 点坐标，代入椭圆方程

避坑指南：$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FD}$ 说明 $F$ 在 $B$、$D$ 之间且 $D$ 在延长线上，$D=F+\frac{1}{2}(F-B)$，比例方向别画反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：求离心率只需一个 $a,c$ 的齐次方程，“点在椭圆上”是最常用的来源。

结论推广：短轴端点 $B(0,b)$ 与焦点 $F(c,0)$ 的组合是椭圆命题的高频配置。

方法推广：化简到 $\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{3}$ 后开方即 $e$，不必求 $a,c$ 的具体值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-15 填-椭圆离心率范围
• 2011-新课标卷文-04 单-椭圆离心率
• 2012-新课标卷文-04 单-椭圆离心率
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