2007-安徽卷理-19 解-恒等变形消元法

本题导读

本题考查抛物线与圆的位置关系、直线方程的求解以及斜率定值证明。第一问通过联立交点代数式、写出直线方程求截距，建立动点 $A$ 与 $C$ 横坐标的函数控制关系；第二问在第一问的解析式底座上，写出动点 $D$ 的坐标，利用两点间斜率公式分子分母因式分解对消，求得常数定值。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)）如图，曲线 $G$ 的方程为 $y^{2} = 2 x$ ( $y \geq 0$ ). 以原点为圆心，以 $t$ ( $t > 0$ ) 为半径的圆分别与曲线 $G$ 和 $y$ 轴的正半轴相交于点 $A$ 与点 $B$ . 直线 $A B$ 与 $x$ 轴相交于点 $C$ .

(1) 求点 $A$ 的横坐标 $a$ 与点 $C$ 的横坐标 $c$ 的关系式；

(2) 设曲线 $G$ 上点 $D$ 的横坐标为 $a + 2$ ，求证：直线 $C D$ 的斜率为定值.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：

以原点为圆心，半径为 $t$ 的圆方程为 $x^{2} + y^{2} = t^{2}$ 。

点 $B$ 是圆与 $y$ 轴正半轴的交点，故 $B (0, t)$ 。

点 $A (a, y_{A})$ 是圆与抛物线 $y^{2} = 2 x$ ( $y \geq 0$ ) 的交点，代入满足 $a^{2} + 2 a = t^{2} ⟹ t = a^{2} + 2 a$ 。由此点 $A$ 的坐标可用 $a$ 表示为 $(a, 2 a)$ 。

利用 $A, B$ 的两点坐标写出直线 $A B$ 的方程，令 $y = 0$ 求出与 $x$ 轴的交点 $C$ 的横坐标 $c$ ，从而建立 $a$ 与 $c$ 的等式关系。

第二问：

依据第一问导出的关系式，将 $c$ 用含 $a$ 的代数式表达。

点 $D$ 的横坐标为 $a + 2$ ，由于其在抛物线上且 $y \geq 0$ ，故 $y_{D} = 2 (a + 2)$ 。

写出直线 $C D$ 的斜率计算式 $k_{C D} = \frac{y _{D} - 0}{x _{D} - c}$ ，通过代数分子有理化或因式分解，消除分子分母中的无理式，看最终结果是否为固定常数。

✅【答案】

点击查看答案

待补

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）根据题意，以原点为圆心，以 $t$ ( $t > 0$ ) 为半径的圆的方程为： $x^{2} + y^{2} = t^{2}$ 因为点 $B$ 是圆与 $y$ 轴正半轴的交点，所以点 $B$ 的坐标为： $B (0, t)$

点 $A$ 的横坐标为 $a$ ，且点 $A$ 位于抛物线 $y^{2} = 2 x$ ( $y \geq 0$ ) 上，故其纵坐标为 $y_{A} = 2 a$ 。即点 $A$ 的直角坐标为 $(a, 2 a)$ 。又因为点 $A$ 在该圆周上，代入圆的方程满足： $a^{2} + (2 a)^{2} = t^{2} ⟹ a^{2} + 2 a = t^{2} ⟹ t = a^{2} + 2 a$ 由此点 $B$ 的坐标可同步用参数 $a$ 表示为 $(0, a^{2} + 2 a)$ 。

下面根据两点式斜率公式，求取直线 $A B$ 的斜率 $k_{A B}$ ： $k_{A B} = \frac{y _{A} - y _{B}}{x _{A} - x _{B}} = \frac{2 a - a ^{2} + 2 a}{a - 0} = \frac{2 a - a ^{2} + 2 a}{a}$ 根据点斜式方程，直线 $A B$ 的方程为： $y - t = k_{A B} (x - 0) ⟹ y - a^{2} + 2 a = \frac{2 a - a ^{2} + 2 a}{a} x$

因为直线 $A B$ 与 $x$ 轴相交于点 $C (c, 0)$ ，将 $x = c, y = 0$ 代入直线方程中： $- a^{2} + 2 a = \frac{2 a - a ^{2} + 2 a}{a} \cdot c$ 移项孤立项比参数 $c$ ： $c = \frac{- a a ^{2} + 2 a}{2 a - a ^{2} + 2 a}$ 分子分母同时约去公因式 $a$ （由于 $a > 0$ ）： $c = \frac{- a a + 2}{2 - a + 2} = \frac{a a + 2}{a + 2 - 2}$ 对分式进行分母有理化（分子分母同乘以 $a + 2 + 2$ ）： $c = \frac{a a + 2 ( a + 2 + 2 )}{( a + 2 - 2 ) ( a + 2 + 2 )} = \frac{a ( a + 2 ) + a 2 a + 4}{( a + 2 ) - 2} = \frac{a ( a + 2 + 2 a + 4 )}{a}$ 约去分母上的单项式 $a$ ，最终化简求得 $a$ 与 $c$ 的极其干净整齐的关系式为： $c = a + 2 + 2 a + 4$

（2）证明：由题意，曲线 $G$ 上点 $D$ 的横坐标为 $x_{D} = a + 2$ 。代入抛物线方程 $y^{2} = 2 x$ ( $y \geq 0$ )，得到点 $D$ 的纵坐标为： $y_{D} = 2 (a + 2) = 2 a + 4$ 故点 $D$ 的直角坐标为： $D (a + 2, 2 a + 4)$

由第（1）问求出的结论，点 $C$ 的坐标为： $C (a + 2 + 2 a + 4, 0)$

下面套用两点间斜率计算公式，求解直线 $C D$ 的斜率 $k_{C D}$ ： $k_{C D} = \frac{y _{D} - y _{C}}{x _{D} - x _{C}} = \frac{2 a + 4 - 0}{( a + 2 ) - ( a + 2 + 2 a + 4 )}$ 合并分母项中的同类多项式进行消元： $k_{C D} = \frac{2 a + 4}{a + 2 - a - 2 - 2 a + 4} = \frac{2 a + 4}{- 2 a + 4}$ 因为 $a > 0 ⟹ 2 a + 4 \neq = 0$ ，分子分母可以直接进行全项约分对消： $k_{C D} = - 1$

由于 $- 1$ 是一个与参数 $a$ （以及半径 $t$ ）完全无关的固定常数，所以，直线 $C D$ 的斜率为严格的定值 $- 1$ 。原命题全盘获证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆与抛物线隐性半径常数 $t$ 的消元关联、含根式分式截距的有理化化简变形、斜率公式中的项数刚性对消。

核心方法：全式参数有理化法、两点斜率公式法。

避坑指南：

第一问求 $c$ 的代数表达式时，如果不进行“分母有理化”强行带着一堆复合根式进入第二问，会使得第二问的斜率计算公式变得庞大无解、极易崩溃。在解析几何大题中，每做完一步把式子“化到最简”是拿到全分的基本功。

第二问计算分母 $x_{D} - x_{C}$ 时，注意减法的负号要分配进括号里的每一项， $(a + 2) - (a + 2 + 2 a + 4) = - 2 a + 4$ 。细心规整符号，防止错算成正 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查抛物线的标准方程与几何性质、圆的方程与两曲线交点，是安徽卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。

变式思考：本题的核心步骤（坐标参数化代换法、韦达定理/因式分解消元法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。

知识关联：抛物线的标准方程与几何性质、圆的方程与两曲线交点相互关联，解答中综合运用了坐标参数化代换法、韦达定理/因式分解消元法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

18.03 抛物线专题全总结

17.01 圆的方程与圆系理论

16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义

2013-福建卷文-20 解-抛物线与圆

2014-辽宁卷理-16 填-柯西不等式

∑ ( Math )

Explorer

2007-安徽卷理-19 解-恒等变形消元法

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks