2013-福建卷文-20 解-抛物线与圆

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质。核心在于准线性质、纵坐标化乘积的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 如图，抛物线 $E$：$y^2=4x$ 的焦点为 $F$，准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $A$. 点 $C$ 在抛物线 $E$ 上，以 $C$ 为圆心，$|CO|$ 为半径作圆，设圆 $C$ 与准线 $l$ 交于不同的两点 $M$，$N$.

(1)若点 $C$ 的纵坐标为 $2$，求 $|MN|$；

(2)若 $|AF{|}^2=|AM|\cdot |AN|$，求圆 $C$ 的半径.

🔍【思路分析】

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1. (1) $C(1,2)$，$|CO|=\sqrt{5}$，圆 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$ 与 $x=-1$：$(y-2{)}^2=1$ → $y=1,3$ → $|MN|=2$。
2. (2) 设 $C(x_0,y_0)$，$y_0^2=4x_0$。圆与 $x=-1$：$(y-y_0{)}^2=y_0^2-2x_0-1=2x_0-1$，记 $t=\sqrt{2x_0-1}$。
3. $A(-1,0)$ 在准线上，$|AM||AN|=|y_0^2-t^2|=2x_0+1$；$|AF|=2$ → $2x_0+1=4$ → $x_0=\frac{3}{2}$。
4. $R^2=x_0^2+y_0^2=\frac{9}{4}+6=\frac{33}{4}$ → $R=\frac{\sqrt{33}}{2}$。

✅【答案】

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(1)$|MN|=2$ (2)圆 $C$ 的半径为 $\frac{\sqrt{33}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$y^2=4x$ 的焦点 $F(1,0)$，准线 $l$：$x=-1$，交点 $A(-1,0)$，$|AF|=2$。 （1）$C$ 在 $E$ 上且纵坐标为 $2$，故 $2^2=4x_0$ → $x_0=1$，$C(1,2)$。 半径 $|CO|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，圆 $C$：$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$。 与准线 $x=-1$ 联立：$(-1-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$ → $(y-2{)}^2=1$ → $y=1$ 或 $3$。 故 $|MN|=|3-1|=2$。 （2）设 $C(x_0,y_0)$，则 $y_0^2=4x_0$（$x_0>0$），半径 $R=|CO|=\sqrt{x_0^2+y_0^2}$。 圆 $C$：$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=x_0^2+y_0^2$。与准线 $x=-1$ 联立： $(-1-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=x_0^2+y_0^2\Rightarrow (y-y_0{)}^2=y_0^2-2x_0-1=4x_0-2x_0-1=2x_0-1.$ 由圆与准线交于不同两点，需 $2x_0-1>0$。记 $t=\sqrt{2x_0-1}$，则 $M(-1,y_0-t)$，$N(-1,y_0+t)$。 关键：$A$、$M$、$N$ 都在竖直准线 $x=-1$ 上，故 $|AM|=|y_0-t|$，$|AN|=|y_0+t|$， $|AM|\cdot |AN|=|y_0^2-t^2|=|4x_0-(2x_0-1)|=2x_0+1.$ 由 $|AF{|}^2=|AM|\cdot |AN|$，得 $4=2x_0+1$，故 $x_0=\frac{3}{2}$，$y_0^2=6$。 于是半径 $R=\sqrt{x_0^2+y_0^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+6}=\sqrt{\frac{33}{4}}=\frac{\sqrt{33}}{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与圆的交汇

核心方法：(1) $C(1,2)$，$|CO|=\sqrt{5}$，圆与准线 $x=-1$ 交点纵坐标 $2\pm 1$ → $|MN|=2$；(2) 准线上 $|AM||AN|=|y_M{y}_N|=|y_0^2-(2x_0-1)|=2x_0+1=4$ → $x_0=\frac{3}{2}$，$R=\sqrt{x_0^2+y_0^2}=\frac{\sqrt{33}}{2}$

避坑指南：(2) 的关键一步：$A$、$M$、$N$ 都在准线 $x=-1$ 上，$|AM|$、$|AN|$ 就是纵坐标差的绝对值——把 $|AM|$ 当成两点间距离硬算会绕远路；$y_0^2-t^2=4x_0-(2x_0-1)=2x_0+1>0$ 说明不用加绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线的标准方程与圆的方程（福建卷解析几何压轴，两问递进）。

结论推广：$y^2=4x$ 的焦点 $(1,0)$、准线 $x=-1$；圆上弦长用勾股（弦心距）；准线上三点共线化简乘积。

方法推广：(1) 定 $C$ 与半径 → 圆与竖直线相交 → 勾股求半弦；(2) 用准线上纵坐标表 $|AM||AN|$ → 定 $x_0$ → 半径。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-09 填-抛物线焦点准线
• 2013-大纲卷文-12 单-抛物线与向量垂直
• 2013-山东卷文-13 填-圆最短弦