2007-山东卷文-17 解-正切求余弦与余弦定理

本题导读

本题考查同角三角关系。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，$\tan C=3\sqrt{7}$． （1）求 $\cos C$； （2）若 $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}=\frac{5}{2}$，且 $a+b=9$，求 $c$．

🔍【思路分析】

破题导航

（1）$\tan C>0$ 且 $0<C<\pi$，$C$ 为锐角；$1+{\tan }^{2}C=\frac{1}{{\cos }^{2}C}$ 求 $\cos C$。 （2）$\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}=ab\cos C$ 得 $ab=20$；余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=(a+b{)}^2-2ab-2ab\cos C$。

✅【答案】

点击查看答案

（1）$\cos C=\frac{1}{8}$；（2）$c=6$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $0<C<\pi$ 且 $\tan C=3\sqrt{7}>0$，知 $C$ 为锐角，故 $\cos C>0$． 因为 $1+{\tan }^{2}C=1+(3\sqrt{7}{)}^2=64$，所以 $\cos C=\frac{1}{\sqrt{64}}=\frac{1}{8}$． （2）由向量数量积公式，$\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}=ab\cos C$，从而 $ab\cdot \frac{1}{8}=\frac{5}{2}$，即 $ab=20$． 又 $a+b=9$，由余弦定理， $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=(a+b{)}^2-2ab-2ab\cos C=81-40-2\times 20\times \frac{1}{8}=81-40-5=36.$ 由于 $c>0$，故 $c=6$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正切求余弦与余弦定理

核心方法：$1+{\tan }^{2}C={\sec }^{2}C$ 求 $\cos C$；向量积 $=ab\cos C$；余弦定理配方

避坑指南：$C$ 为锐角确定符号；$c^2=(a+b{)}^2-2ab-2ab\cos C$ 别漏项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正切求余弦 + 向量数量积 + 余弦定理，解三角形综合题

结论推广：$\tan C$ 已知即可定 $C$ 的全部三角函数值

方法推广：解三角形：三角函数互化 → 数量积转边 → 余弦定理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练(Links)

• 2007-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2007-大纲卷I文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2008-安徽卷文-05 单-余弦定理求角
• 2008-湖南卷文-07 单-向量数量积与余弦定理