2007-大纲卷I文-17 解-正余弦定理解三角形

本题导读

本题考查正弦定理。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） 设锐角三角形 $ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，$a=2b\sin A$． （1）求 $B$ 的大小； （2）若 $a=3\sqrt{3}$，$c=5$，求 $b$．

🔍【思路分析】

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1. 用正弦定理把 $a$ 换成 $\frac{b\sin A}{\sin B}$，与 $a=2b\sin A$ 对比约去 $b\sin A$。
2. $B$ 是锐角，$\sin B=\frac{1}{2}$ 唯一对应 $B=30^{\circ }$。
3. （2）余弦定理代入 $\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

✅【答案】

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（1）$B=30^{\circ }$；（2）$b=\sqrt{7}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}⟹a=\frac{b\sin A}{\sin B}.$ 结合题设 $a=2b\sin A$，且锐角三角形中 $b>0$、$\sin A>0$，得 $\frac{1}{\sin B}=2⟹\sin B=\frac{1}{2}.$ 又 $B$ 为锐角，所以 $B=30^{\circ }$． （2） 由余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=27+25-2\times 3\sqrt{3}\times 5\times \frac{\sqrt{3}}{2}=52-45=7,$ 故 $b=\sqrt{7}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正余弦定理解三角形

核心方法：正弦定理边角互化定角 → 余弦定理求边

避坑指南：“锐角三角形”是排除多解的关键：$\sin B=\frac{1}{2}$ 在锐角限制下只有 $B=30^{\circ }$；余弦定理代入 $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时系数 $2ac$ 别算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“边角关系式 + 正弦定理定角 + 余弦定理求边”是解三角形解答题的最常见三步组合（2008-2010 大纲卷反复出现）。

结论推广：正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$；余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。

方法推广：看到 $a=kb\sin A$ 型条件，立即用正弦定理把它化为纯角（或纯边）条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练(Links)

• 2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边
• 2008-大纲卷II文-17 解-解三角形求角面积