2007-山东卷文-22 解-椭圆方程与直径圆过定点

本题导读

本题考查椭圆标准方程。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(文)） 已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上，椭圆 $C$ 上的点到焦点距离的最大值为 $3$，最小值为 $1$． （1）求椭圆 $C$ 的标准方程； （2）若直线 $l:y=kx+m$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点（$A$，$B$ 不是左右顶点），且以 $AB$ 为直径的圆过椭圆 $C$ 的右顶点．求证：直线 $l$ 过定点，并求出该定点的坐标．

🔍【思路分析】

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（1）$a+c=3$、$a-c=1$ 得 $a=2,c=1$，$b^2=3$。 （2）直线代入椭圆得韦达；以 $AB$ 为直径的圆过右顶点 $R(2,0)⟺\overrightarrow{RA}\cdot \overrightarrow{RB}=0$，化简得 $(2k+m)(2k+7m)=0$；$m=-2k$ 时直线过 $R$（舍），故 $m=-\frac{2k}{7}$，$l:y=k\left(x-\frac{2}{7}\right)$ 过定点 $\left(\frac{2}{7},0\right)$。

✅【答案】

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（1）$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；（2）直线 $l$ 过定点 $\left(\frac{2}{7},0\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设长半轴、短半轴、半焦距分别为 $a,b,c$（$a>b>0$），$c^2=a^2-b^2$． 椭圆上点到焦点的最大、最小距离分别为 $a+c$、$a-c$，故 $a+c=3$，$a-c=1$，解得 $a=2$，$c=1$，$b^2=3$． 椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$． （2）把 $y=kx+m$ 代入椭圆：$3x^2+4(kx+m{)}^2=12$，即 $(3+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-12=0$． $x_1+x_2=\frac{-8km}{3+4k^2},x_1{x}_2=\frac{4m^2-12}{3+4k^2}.$ 右顶点 $R(2,0)$；以 $AB$ 为直径的圆过 $R$ 等价于 $\overrightarrow{RA}\cdot \overrightarrow{RB}=0$，即 $(2-x_1)(2-x_2)+y_1{y}_2=0.$ 将 $y_i=k{x}_i+m$ 代入并整理：$4+(km-2)(x_1+x_2)+(1+k^2)x_1{x}_2+m^2=0$． 代入韦达定理并化简，得 $4k^2+16km+7m^2=0$，即 $(2k+m)(2k+7m)=0$． 若 $2k+m=0$，则 $l:y=k(x-2)$ 过右顶点 $R$，与 $A,B$ 不是左右顶点矛盾，舍去． 故 $2k+7m=0$，$m=-\frac{2k}{7}$，$l:y=kx-\frac{2k}{7}=k\left(x-\frac{2}{7}\right)$． 所以直线 $l$ 恒过定点 $\left(\frac{2}{7},0\right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程与直径圆过定点

核心方法：$a\pm c$ 定 $a,c$；$\overrightarrow{RA}\cdot \overrightarrow{RB}=0$ 化简用韦达

避坑指南：$m=-2k$ 时直线过顶点要舍去（题设排除）；直线族 $y=k\left(x-\frac{2}{7}\right)$ 过定点横坐标 $\frac{2}{7}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆 $a\pm c$ 定方程 + 直径圆过顶点定直线，解析几何压轴

结论推广：$\overrightarrow{RA}\cdot \overrightarrow{RB}=0$ 展开后韦达化简是标准套路

方法推广：“以 AB 为直径的圆过 P”一律 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$；定点从参数方程系数分离

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练(Links)

• 2011-山东卷文-22 解-椭圆定点与对称
• 2011-重庆卷文-21 解-椭圆轨迹与定点定值
• 2007-浙江卷文-21 解-椭圆弦长与面积
• 2007-大纲卷I文-22 解-椭圆垂直弦与四边形面积最值