2011-山东卷文-22 解-椭圆定点与对称

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C:\frac{x^2}{3}+y^2=1$.如图所示，斜率为 $k$（$k>0$）且不过原点的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $E$，射线 $OE$ 交椭圆 $C$ 于点 $G$，交直线 $x=-3$ 于点 $D(-3,m)$.

(1) 求 $m^2+k^2$ 的最小值；

(2) 若 $|OG{|}^2=|OD|\cdot |OE|$，

① 求证：直线 $l$ 过定点；

② 试问点 $B$，$G$ 能否关于 $x$ 轴对称？若能，求出此时 $△ABG$ 的外接圆方程；若不能，请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：设 $l:y=kx+b$
2. 步骤2：韦达定理给中点 $E=\frac{b}{1+3k^2}(-3k,1)$
3. 步骤3：(1) $m=\frac{1}{k}$ 后用基本不等式
4. 步骤4：(2) $|OG{|}^2=|OD|\cdot |OE|$ 化为 $b=k$

✅【答案】

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(1) 最小值为 $2$

(2) ① 直线 $l$ 恒过定点 $(-1,0)$；② 能，此时 $k=1$，$△ABG$ 的外接圆为 $x^2+y^2+x-1=0$

✍【详细解析】

Abstract

设 $l:y=kx+b$（$k>0$，$b\ne 0$）。代入椭圆方程：

$\left(k^2+\frac{1}{3}\right)x^2+2kbx+b^2-1=0$。

由韦达定理，中点 $E$：$x_E=-\frac{3kb}{1+3k^2}$，$y_E=k{x}_E+b=\frac{b}{1+3k^2}$，即 $E=\frac{b}{1+3k^2}(-3k,1)$。

(1) 射线 $OE$ 与直线 $x=-3$ 相交且 $k>0$，须 $x_E<0$，故 $b>0$。直线 $OE$ 斜率为 $\frac{1}{-3k}=-\frac{1}{3k}$，与 $x=-3$ 的交点为 $D\left(-3,\frac{1}{k}\right)$，即 $m=\frac{1}{k}$。

$m^2+k^2=\frac{1}{k^2}+k^2⩾2$，当且仅当 $k=1$ 时取等号。最小值为 $2$。

(2)① 直线 $OE$ 上点可写成 $t(-3k,1)$，代入椭圆：$3k^2{t}^2+t^2=1$，射线上的交点 $G$ 对应 $t=\frac{1}{\sqrt{1+3k^2}}$，

$G=\left(-\frac{3k}{\sqrt{1+3k^2}},\frac{1}{\sqrt{1+3k^2}}\right)$，故 $|OG{|}^2=\frac{1+9k^2}{1+3k^2}$。

又 $|OE|=\frac{b\sqrt{1+9k^2}}{1+3k^2}$（$b>0$），$|OD|=\sqrt{9+\frac{1}{k^2}}=\frac{\sqrt{1+9k^2}}{k}$。

代入 $|OG{|}^2=|OD|\cdot |OE|$：

$\frac{1+9k^2}{1+3k^2}=\frac{b(1+9k^2)}{k(1+3k^2)}$，约去 $1+9k^2$ 与 $1+3k^2$ 得 $b=k$。

故 $l:y=kx+k=k(x+1)$，恒过定点 $(-1,0)$。

② 若 $B$ 与 $G$ 关于 $x$ 轴对称，则 $B=\left(-\frac{3k}{\sqrt{1+3k^2}},-\frac{1}{\sqrt{1+3k^2}}\right)$。$B$ 在 $l:y=k(x+1)$ 上，记 $s=\sqrt{1+3k^2}$：

$-\frac{1}{s}=k\left(1-\frac{3k}{s}\right)⟺3k^2-ks=1$，于是 $3k^2-1=ks>0$。两边平方：

$(3k^2-1{)}^2=k^2(1+3k^2)⟺6k^4-7k^2+1=0⟺(k^2-1)(6k^2-1)=0$。

由 $3k^2-1>0$ 只能 $k=1$，故这种情形能发生。

当 $k=1$ 时，$l:y=x+1$，$G=\left(-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$，$B=\left(-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right)$。

将 $y=x+1$ 代入椭圆：$\frac{x^2}{3}+(x+1{)}^2=1⟺\frac{4x^2}{3}+2x=0⟺x(4x+6)=0$，故 $A=(0,1)$。

$BG$ 为竖直线段，其垂直平分线为 $y=0$，设圆心 $(u,0)$。由 $|圆心到A|=|圆心到B|$：

$u^2+1={\left(u+\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$，得 $u=-\frac{1}{2}$，半径平方 $u^2+1=\frac{5}{4}$。

外接圆：${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+y^2=\frac{5}{4}$，即 $x^2+y^2+x-1=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点差/韦达定中点；基本不等式；弦中点与定点条件；圆的方程

核心方法：“直线代入椭圆 + 韦达定理”是中点问题的总框架；$|OG{|}^2=|OD|\cdot |OE|$ 中的三条线段全部用 $k,b$ 表出后约分化简；对称条件转化为关于 $k$ 的方程并保留符号约束 $3k^2-1>0$

避坑指南：射线 $OE$ 与 $x=-3$ 相交隐含 $b>0$（$x_E<0$），漏掉此约束后续 $|OE|$ 去绝对值会错；平方解 $6k^4-7k^2+1=0$ 得两根 $k^2=1$ 或 $\frac{1}{6}$，必须用 $3k^2-1>0$ 舍去 $k^2=\frac{1}{6}$；$A$ 点是直线与椭圆的另一交点，联立后别只取 $B$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆与直线位置关系题与 2012-山东卷文-21、2011-上海卷文-22、2012-北京卷文-19 同族。

结论推广：推广：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 中过定点直线与中点弦问题，中点 $E$ 的”韦达表达式” $\left(-\frac{a^{2}kb}{a^2{k}^2+b^2},\frac{b^{2}b}{a^2{k}^2+b^2}\right)$ 是通用中间量，定点、对称、定值问题都由它出发。

方法推广：解析几何压轴题：设线不设点（设 $k,b$ 而非两点坐标），把每个几何条件翻译成 $k,b$ 的等式；最后一步常是约分——先约再解，代数量骤减。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-21 解-椭圆与直线位置关系
• 2011-上海卷文-22 解-椭圆最值与参数范围
• 2012-北京卷文-19 解-椭圆弦长面积