2007-山东卷理-02 单-整数集特殊限制

本题导读

本题考查集合的交集运算与指数不等式的求解。试题通过指数函数的单调性解出连续区间，在整数集约束下确定集合元素，侧重考查基础概念的交汇融合。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 已知集合 $M=\{-1,1\}$，$N=\left\{x|\frac{1}{2}<2^{x+1}<4,x\in \mathbf{Z}\right\}$，则 $M\cap N=$()

A. $\{-1,1\}$　　　　　　B. $\{-1\}$　　　　　　C. $\{0\}$　　　　　　D. $\{-1,0\}$

🔍【思路分析】

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1. 将指数不等式统一底数为 2，转化为关于 $x$ 的线性不等式求解。

2. 结合 $x\in \mathbf{Z}$ 筛选出集合 $N$ 的具体整数元素，最后与集合 $M$求交集。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $\frac{1}{2}<2^{x+1}<4$ 得 $2^{-1}<2^{x+1}<2^2$． 因为底数 2 大于 1，指数函数 $y=2^x$ 单调递增， 所以 $-1<x+1<2$，解得 $-2<x<1$． 又因为 $x\in \mathbf{Z}$，所以 $x$ 的整数解为 $-1,0$，即 $N=\{-1,0\}$． 因为 $M=\{-1,1\}$，所以 $M\cap N=\{-1\}$． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数不等式的同底化转化，集合交集的含义，典型数集的表示。

2. 核心方法：指数单调性应用，元素列举与比对法。

3. 避坑指南：切勿忽略代表元素性质中 $x\in \mathbf{Z}$（整数集）的限制，避免错选成区间或包含非整数元素。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题为经典的高考开篇集合与函数定义域交汇题，源于教材中指数函数单调性的基础应用。

5. 结论推广：一般地，对于形如 $M=A,N=\{x\mid a<f(x)<b,x\in \mathbf{Z}\}$ 的交集问题，求解核心在于精准判定函数 $f(x)$ 的单调性以锁定解集区间，并精确提取该区间内的所有整数点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷I理-01 单-复数运算