2018-全国卷I理-01 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及复数模的计算。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I理）设 $z=\frac{1-i}{1+i}+2i$，则 $|z|=$()

A. $0$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 化简分式部分：利用分母实数化，分子分母同乘 $1-i$。或者利用常用结论 $\frac{1-i}{1+i}=-i$。
2. 求和：将化简后的结果与 $2i$ 相加，得到 $z$ 的最终形式。
3. 计算模：利用公式 $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ 计算。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】 方法一：常规计算 $z=\frac{(1-i{)}^2}{(1+i)(1-i)}+2i$ $z=\frac{1-2i+i^2}{1-i^2}+2i$ 由于 $i^2=-1$： $z=\frac{1-2i-1}{1+1}+2i=\frac{-2i}{2}+2i=-i+2i=i$ 则 $|z|=|i|=1$。

方法二：利用常用结论（推荐） 记住常用结论：$\frac{1-i}{1+i}=-i$ 且 $\frac{1+i}{1-i}=i$。 则 $z=-i+2i=i$。 所以 $|z|=1$。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 计算准确性：复数题虽简单，但极易在 $i^2=-1$ 的正负号上出错。
2. 常用工具箱：在 Obsidian 中建议收集以下常用复数化简结果：

• $(1\pm i{)}^2=\pm 2i$
• $\frac{1+i}{1-i}=i$
• $\frac{1-i}{1+i}=-i$
• $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i⟹{\omega }^3=1$

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以插入这个直观理解：

• 复数 $z=x+iy$ 的模 $|z|$ 对应于复平面内点 $(x,y)$ 到原点的距离。
• 本题中 $z=i$ 对应点 $(0,1)$，其到原点距离显然为 $1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义