2007-山东卷理-12 单-排列组合路径计数

本题导读

本题以网格随机游走为背景，考查概率论中的独立重复试验（伯努利试验）模型。要求学生将几何位置状态转化为代数步数约束，并利用二项分布公式精确求解，属于高频考查的经典概率题。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 位于坐标原点的一个质点 $P$ 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 $\frac{1}{2}$．质点 $P$ 移动 5 次后位于点 $(2,3)$ 的概率为()

A. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5$　　　B. ${\text{C}}_5^2{\left(\frac{1}{2}\right)}^5$　　　C. ${\text{C}}_5^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3$　　　D. ${\text{C}}_5^2{\text{C}}_5^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立方程：设质点向右移动 $x$ 次，向上移动 $y$ 次，根据终点坐标 $(2,3)$ 确定向右和向上的具体次数。

2. 模型匹配：每次移动互不影响且概率恒定，属于 5 次独立重复试验，直接套用独立重复试验的概率计算公式 $P={\text{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$ 即可。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设质点 $P$ 向右移动 $x$ 次，向上移动 $y$ 次． 由题意知，质点移动 5 次后位于点 $(2,3)$，则满足： $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x=2\\ y=3\end{array}$ 即该质点在 5 次移动中，必须恰好有 2 次向右移动，3 次向上移动． 因为每次移动向上或向右的概率均为 $\frac{1}{2}$，且各次移动相互独立， 所以此事件符合 5 重伯努利试验模型，所求概率为： $P={\text{C}}_5^2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^3={\text{C}}_5^2{\left(\frac{1}{2}\right)}^5$． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立重复试验的辨析，二项分布的概率公式，排列组合在路径计数中的应用。

2. 核心方法：状态方程法（确定试验总次数与成功次数），伯努利概率公式直接计算。

3. 避坑指南：极易受到选项 D 的干扰而误认为需要把横纵坐标的排列数相乘。需明确 5 次移动的总步骤已固定，一旦选定了向右的 2 次，剩下的 3 次必然只能向上，切勿重复计数。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于概率论中经典的“随机游走”（Random Walk）模型与杨辉三角（帕斯卡三角）的路径计数原理，是历年高考将排列组合与概率交汇的常考题型。

5. 结论推广：若质点每次随机向正东、正北方向移动 1 个单位的概率分别为 $p$ 和 $1-p$，则移动 $n$ 次后到达点 $(a,b)$（其中 $a+b=n$）的概率恒为 $P={\text{C}}_n^a{p}^a(1-p{)}^b$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II理-08 单-古典概型