2018-全国卷II理-08 单-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及素数的概念。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 $30=7+23$.在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是()

A. $\frac{1}{12}$　　　　　　B. $\frac{1}{14}$　　　　　　C. $\frac{1}{15}$　　　　　　D. $\frac{1}{18}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 列出基本事件空间：首先找出“不超过 30 的素数”有哪些。注意 1 不是素数，2 是最小的素数。
2. 计算总取法：从找到的 $n$ 个素数中随机选取两个不同的数，总取法为 $C_n^2$。
3. 寻找符合条件的事件：在这些素数中，找出哪两个不同的素数相加等于 30。
4. 计算概率：利用古典概型公式 $P(A)=\frac{m}{n}$ 求解。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 确定素数集： 不超过 30 的素数有：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29。 共计 $10$ 个。

2. 计算总基本事件数： 从 10 个素数中随机选取两个不同的数，共有： $C_{10}^2=\frac{10\times 9}{2\times 1}=45\text{ 种方法。}$

3. 寻找满足“和等于 30”的组合： 遍历上述素数集，两个不同的数之和为 30 的组合有：

• $7+23=30$

• $11+19=30$

• $13+17=30$ 共有 $3$ 种组合。 (注：$15+15$ 虽然等于 30，但 15 不是素数；$2+28$ 等同理。)

4. 计算概率： $P=\frac{3}{45}=\frac{1}{15}$

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 素数筛选的准确性：这是本题最基础也最容易出错的地方。漏掉 2 或者误把 1、9、15、21、25、27 当作素数都会导致计算错误。
2. “不同”二字：题目要求选取两个“不同”的数，因此在计算总数时使用 $C_{10}^2$，在寻找组合时也不考虑重复使用同一个数的情况。
3. 背景知识：虽然题目提到了哥德巴赫猜想，但解题并不需要深入理解猜想本身，只需按照概率定义的步骤操作即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个速查表：

• 10 以内：2, 3, 5, 7 (4个)
• 10-20：11, 13, 17, 19 (4个)
• 20-30：23, 29 (2个)
• 记忆口诀：二三五七和十一，十三后面十七十九，二三九。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-18 解-卡片抽取概率
• 2008-广东卷文-19 解-分层抽样与古典概型
• 2009-江苏卷-05 填-古典概型