2007-山东卷理-13 填-直线抛物线位置关系

本题导读

本题考查抛物线的定义、几何性质及直线与抛物线的位置关系。通过向量夹角锁定直线斜率，联立方程确定点坐标，考查解析几何的基本运算能力。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 设 $O$ 是坐标原点，$F$ 是抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点，$A$ 是抛物线上的一点，$\overrightarrow{FA}$ 与 $x$ 轴正向的夹角为 60°，则 $|\overrightarrow{OA}|$ 为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确定抛物线焦点坐标，并根据 $\overrightarrow{FA}$ 与 $x$ 轴正向的夹角写出直线 $FA$ 的方程。

2. 将直线方程与抛物线方程联立，求出点 $A$ 的坐标，进而利用两点间距离公式计算 $|\overrightarrow{OA}|$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{21}}{2}p$

✍【详细解析】

Abstract

易知焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$．因 $\overrightarrow{FA}$ 与 $x$ 轴正向的夹角为 60°，故直线 $FA$ 的斜率 $k=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$． 则直线 $FA$ 的方程为：$y=\sqrt{3}\left(x-\frac{p}{2}\right)$． 联立直线与抛物线方程： $\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}\left(x-\frac{p}{2}\right)\\ y^2=2px\end{array}$ 消去 $x$ 得：$\sqrt{3}{y}^2-2py-\sqrt{3}{p}^2=0$，解得 $y=\sqrt{3}p$ 或 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}p$． 由题意知点 $A$ 在第一象限，故 $y_0=\sqrt{3}p$，代入抛物线方程得 $x_0=\frac{3}{2}p$，即 $A\left(\frac{3}{2}p,\sqrt{3}p\right)$． 所以 $|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{x_0^2+y_0^2}=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}p\right)}^2+(\sqrt{3}p{)}^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}p$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的标准方程与焦点坐标，直线方程的点斜式，向量方向角的代数转化。

2. 核心方法：联立方程法求解交点坐标，模长公式的应用。

3. 避坑指南：解一元二次方程时易因计算失误得出错误坐标；同时需注意向量夹角为 60° 明确限定了射线方向，故纵坐标必须取正值。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中抛物线标准方程及其简单几何性质的基础应用，是典型的圆锥曲线交点计算题。

5. 结论推广：若抛物线为 $y^2=2px(p>0)$，过焦点 $F$ 的射线与 $x$ 轴正方向夹角为 $\theta$，则该射线与抛物线在第一象限交点 $A$ 的坐标可推广为 $\left(\frac{p(1+\cos \theta )}{2{\sin }^2\theta },\frac{p(1+\cos \theta )}{\sin \theta }\right)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-10 单-等比数列的性质