2007-山东卷理-15 填-直线圆位置关系

本题导读

本题考查两圆外切以及直线与圆相切的几何综合性质。通过求解满足双重相切条件的最小半径圆，考查圆与圆、直线与圆位置关系的几何最值思维。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 与直线 $x+y-2=0$ 和曲线 $x^2+y^2-12x-12y+54=0$ 都相切的半径最小的圆的标准方程是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将已知曲线方程化为圆的标准方程，求出其圆心 $C_1$ 和半径 $R$。

2. 依据几何关系，当所求圆的圆心 $C_2$ 位于过 $C_1$ 且垂直于已知直线的连线上，且两圆外切时，新圆的半径最小。利用射影与中点性质确定新圆的圆心与半径。

✅【答案】

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$(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=2$

✍【详细解析】

Abstract

将曲线方程化为标准方程得：$(x-6{)}^2+(y-6{)}^2=18$， 则已知圆圆心为 $C_1(6,6)$，半径 $R=3\sqrt{2}$． 圆心 $C_1$ 到直线 $x+y-2=0$ 的距离为 $d=\frac{|6+6-2|}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$． 设所求最小圆的半径为 $r$，当该圆与已知圆外切且与直线相切时半径最小， 则有 $2r=d-R=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，得最小半径 $r=\sqrt{2}$． 设所求圆的圆心为 $C_2(x_0,y_0)$，则 $C_2$ 在过 $C_1(6,6)$ 且垂直于已知直线的射线（即 $y=x$）上， 且 $C_2$ 到直线的距离为 $\sqrt{2}$，到 $C_1$ 的距离为 $R+r=4\sqrt{2}$． 结合定比分点或向量共线可知，圆心 $C_2$ 坐标为 $(2,2)$． 故所求圆的标准方程为 $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的一般方程配方，点到直线距离公式，两圆外切的判定条件。

2. 核心方法：纯几何分析法（利用心距关系推导临界位置）。

3. 避坑指南：由于是双相切条件，盲目设未知数代入代数方程组会导致运算量爆炸；必须通过几何图形发现“三点共线”的动态临界状态才能化繁为简。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于初中平面几何中切线与两圆位置关系的动力学最值问题，是高考中考查解析几何“几何法优先于代数法”的典型代表。

5. 结论推广：一般地，与定直线 $L$ 和定圆 $C(中心为C,半径为R)$ 均外切且不相交的圆中，半径最小的圆的直径等于圆心 $C$ 到直线 $L$ 的距离减去定圆半径 $R$，且其圆心位于 $C$ 在 $L$ 上的垂足与 $C$ 点的连线段上。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.04 圆与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2019-全国卷III理-19 解-面面垂直