2019-全国卷III理-19 解-面面垂直

本题导读

本题考查空间中线面垂直与面面垂直的判定。核心在于向量法、坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）图 1 是由矩形 $ADEB$，$Rt△ABC$ 和菱形 $BFGC$ 组成的一个平面图形，其中 $AB=1$，$BE=BF=2$，$\angle FBC=60^{\circ }$。将其沿 $AB,BC$ 折起使得 $BE$ 与 $BF$ 重合，连结 $DG$，如图 2。

(1)证明：图 2 中的 $A,C,G,D$ 四点共面，且平面 $ABC\perp$ 平面 $BCGE$；

(2)求图 2 中的二面角 $B-CG-A$ 的大小。


🔍【思路分析】

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1. 第一问 (判定共面与面面垂直)：

• 共面判定：在原图中，$AD\parallel BE$，$CG\parallel BF$。折叠后 $BE$ 与 $BF$ 重合，由于平行关系的传递性（$AD\parallel BE,BE\parallel CG$），得到 $AD\parallel CG$，从而判定四点共面。
• 面面垂直：证明 $AB\perp$ 平面 $BCGE$。在折叠后，$AB\perp BE$（原矩形性质）且 $AB\perp BC$（原直角三角形性质），故 $AB$ 垂直于平面内两条相交直线。

2. 第二问 (求二面角)：

• 构造平面角：利用三垂线定理。过点 $B$ 作 $BH\perp CG$ 于 $H$。由于 $AB\perp$ 平面 $BCGE$，可推出 $AB\perp CG$。进而证明 $CG\perp$ 平面 $ABH$。
• 确定平面角：$\angle AHB$ 即为二面角 $B-CG-A$ 的平面角。
• 数值计算：在 $△BHC$ 和 $Rt△ABH$ 中分别求解边长，利用正切值求角度。

✅【答案】

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(1)证明见解析。

(2)二面角 $B-CG-A$ 的大小为 $30^{\circ }$。

✍【详细解析】

Abstract

【解析过程】 (1)证明： 在图 1 中，$AD\parallel BE$，$BF\parallel CG$。 将图形折起后，$BE$ 与 $BF$ 重合，记为棱 $BE$。 由此可知，在图 2 中依然有 $AD\parallel BE$ 且 $CG\parallel BE$。 根据平行公理，可知 $AD\parallel CG$。 因为两条平行直线确定一个平面，所以 $A,C,G,D$ 四点共面。

又在矩形 $ADEB$ 中，$AB\perp BE$；在 $Rt△ABC$ 中，$AB\perp BC$。 因为 $BE\cap BC=B$，且 $BE,BC\subset$ 平面 $BCGE$， 所以 $AB\perp$ 平面 $BCGE$。 又因为 $AB\subset$ 平面 $ABC$， 根据面面垂直的判定定理，平面 $ABC\perp$ 平面 $BCGE$。

(2)解： 在平面 $BCGE$（即菱形 $BFGC$）中，过点 $B$ 作 $BH\perp CG$，交 $CG$ 的延长线于点 $H$，连接 $AH$。 在菱形 $BFGC$ 中，$\angle FBC=60^{\circ }$，$BC=BF=2$。 由 $BF\parallel CG$ 得 $\angle BCG=180^{\circ }-\angle FBC=120^{\circ }$。 又 $H$ 在 $CG$ 的延长线上，故 $\angle BCH=180^{\circ }-\angle BCG=60^{\circ }$。 在 $Rt△BHC$ 中，$BC=2$，$\angle BCH=60^{\circ }$， 则 $BH=BC\sin 60^{\circ }=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。

由(1)知 $AB\perp$ 平面 $BCGE$，$CG\subset$ 平面 $BCGE$，则 $AB\perp CG$。 又 $\because BH\perp CG$，$AB\cap BH=B$， $\therefore CG\perp$ 平面 $ABH$。 又 $\because AH\subset$ 平面 $ABH$，$\therefore AH\perp CG$。 故 $\angle AHB$ 为二面角 $B-CG-A$ 的平面角。

在 $Rt△ABH$ 中，$AB=1$，$BH=\sqrt{3}$， $\tan \angle AHB=\frac{AB}{BH}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 $\therefore \angle AHB=30^{\circ }$。 即二面角 $B-CG-A$ 的大小为 $30^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 折叠问题的“变”与“不变”：折叠过程中，同一个面内的线线位置关系（如垂直、平行、夹角）是不变的；改变的是不同面之间的空间位置。
2. 三垂线定理的优越性：本题若用向量法，需要建立坐标系。由于 $\angle EBC$ 的角度未直接给出（虽然可以推导），建系过程较繁琐。几何法通过构造垂面，逻辑清晰且运算量小。
3. 易错点：菱形中的角度分析。注意平行线间的同旁内角关系，准确计算辅助线 $BH$ 的长度。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理二面角的“三剑客”：

1. 定义法/几何法：找/作平面角，适用于图形规则、垂直关系明显的题目。
2. 向量法：求两个半平面的法向量 ${\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2$，利用 $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}$。注意二面角是钝角还是锐角的判定。
3. 射影面积法：$S_{射影}=S_{原}\cos \theta$，适用于其中一个面有明显投影的情况。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2008-湖南卷文-18 解-四棱锥垂直与二面角
• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 1997-全国卷理-23 解-正方体中的垂直、角与体积