2007-山东卷理-19 解-用空间向量求二面角

本题导读

本题以直四棱柱为载体，全面考查空间立体几何中线面平行与面面夹角的经典判定。试题由于底面存在垂直特性能极其便捷地构建空间直角坐标系，将传统的空间想象证明转化为规范的向量代数运算，重点考查空间想象能力与精确计算能力。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 如图，在直四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，已知 $DC=D{D}_1=2AD=2AB,AD\perp DC,AB\parallel DC$．

(1) 设 $E$ 是 $DC$ 的中点，求证：$D_{1}E\parallel$ 平面 $A_{1}BD$；

(2) 求二面角 $A_1-BD-C_1$ 的余弦值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：直棱柱侧棱垂直于底面，且底面满足 $AD\perp DC$，故 $DA,DC,D{D}_1$ 三条直线两两垂直，可直接以 $D$ 为原点建立空间直角坐标系。

2. 第一问：通过对应点的坐标写出向量 $\overrightarrow{D_{1}E}$ 与 $\overrightarrow{A_{1}B}$，若两向量相等则线线平行，进而实现线面平行的转化证明。

3. 第二问：分别求解平面 $A_{1}BD$ 和平面 $C_{1}BD$ 的法向量，利用法向量夹角公式计算出二面角的余弦绝对值，并结合几何图形判定最终的夹角正负。

✅【答案】

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因此𝐷1𝐸∥平面𝐴1𝐵𝐷

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 在直四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$D{D}_1\perp$ 平面 $ABCD$． 又 $AD\subset$ 平面 $ABCD$, $DC\subset$ 平面 $ABCD$，所以 $D{D}_1\perp AD$, $D{D}_1\perp DC$． 已知 $AD\perp DC$，故 $DA,DC,D{D}_1$ 两两互相垂直． 以 $D$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{D{D}_1}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $D-xyz$． 设 $AD=1$，则 $AB=1,DC=2,D{D}_1=2$． 相关各点的坐标为： $D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),D_1(0,0,2),A_1(1,0,2),C_1(0,2,2)$． 因为 $E$ 是 $DC$ 的中点，所以 $E(0,1,0)$． 则 $\overrightarrow{D_{1}E}=(0,1,-2)$，$\overrightarrow{A_{1}B}=(1-1,1-0,0-2)=(0,1,-2)$． 所以 $\overrightarrow{D_{1}E}=\overrightarrow{A_{1}B}$，从而 $D_{1}E\parallel A_{1}B$． 又因为 $A_{1}B\subset$ 平面 $A_{1}BD$，$D_{1}E\not\subset$ 平面 $A_{1}BD$， 所以 $D_{1}E\parallel$ 平面 $A_{1}BD$．

(2) 解： 由 (1) 可知，$\overrightarrow{D{A}_1}=(1,0,2)$，$\overrightarrow{DB}=(1,1,0)$． 设平面 $A_{1}BD$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_1}=(x_1,y_1,z_1)$，则： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{D{A}_1}=x_1+2z_1=0\\ \overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{DB}=x_1+y_1=0\end{array}$ 令 $z_1=-1$，解得 $x_1=2,y_1=-2$，故 $\overrightarrow{n_1}=(2,-2,-1)$． 同理，$\overrightarrow{D{C}_1}=(0,2,2)$．设平面 $C_{1}BD$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(x_2,y_2,z_2)$，则： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{D{C}_1}=2y_2+2z_2=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{DB}=x_2+y_2=0\end{array}$ 令 $z_2=1$，得 $y_2=-1,x_2=1$，故 $\overrightarrow{n_2}=(1,-1,1)$． 设二面角 $A_1-BD-C_1$ 的平面角为 $\theta$． 由图可知，该二面角为锐角，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|2\times 1+(-2)\times (-1)+(-1)\times 1|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2}\times \sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}}=\frac{3}{3\times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$． 所以，二面角 $A_1-BD-C_1$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直棱柱结构中垂直关系的转换，线面平行的代数判定（向量共线或法向量垂直），利用空间双法向量求解二面角。

2. 核心方法：建系坐标化方法，法向量待定系数法。

3. 避坑指南：建立坐标系时需确保三条轴两两垂直；在第 (2) 问通过法向量夹角得到其余弦值后，必须返回几何图形中进行二次审视，通过观察二面角的张口趋势判定其是锐角还是钝角，防止正负号判断失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于立体几何大纲中关于直棱柱性质与空间向量相融合的主干大题，侧重考查将平面几何特殊多边形（直角梯形）作为底面时空间结构的代数化建模能力。

5. 结论推广：在任意直三棱柱或直四棱柱中，若底面含有垂直边界，以该交点为原点建系后，动线段与动平面平行的充要条件均可表示为其方向向量与平面法向量的点积为零且起点不在面内；二面角平面角 $\theta$ 的余弦绝对值恒等于两半平面法向量点积模与模长乘积的比值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-19 解-几何体性质