2007-广东卷文-12 填-对数函数单调区间

本题导读

本题考查导数与单调区间，以及对数函数求导。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(文)）

函数 $f(x)=x\ln x$（$x>0$）的单调递增区间是　　　　.

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1$。

2. $f^{\prime }(x)>0⟺\ln x>-1⟺x>\frac{1}{e}$。

3. 导数为零的点 $x=\frac{1}{e}$ 处函数连续，增区间含端点。

✅【答案】

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$\left[\frac{1}{e},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

函数定义域为 $x>0$，且 $f^{\prime }(x)=\ln x+1$．

当 $0<x<\frac{1}{e}$ 时 $f^{\prime }(x)<0$；当 $x>\frac{1}{e}$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，在 $x=\frac{1}{e}$ 处导数为零．

因此函数的单调递增区间为 $\left[\frac{1}{e},+\infty \right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数单调区间

核心方法：$f^{\prime }(x)=\ln x+1$，解 $f^{\prime }>0$ 得 $x>\frac{1}{e}$

避坑指南：乘积求导别漏 $\frac{1}{x}$ 项；$x=\frac{1}{e}$ 处导数为零但函数不减，增区间写闭区间 $\left[\frac{1}{e},+\infty \right)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含对数的导数单调区间问题衔接导数与幂指对函数，2013 广东文 12 同槽考查导数

结论推广：$(x\ln x{)}^{\prime }=\ln x+1$；增区间由 $f^{\prime }>0$ 解出，端点可闭

方法推广：求单调区间先写定义域，导数零点落在定义域内时区间端点取闭

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2013-广东卷文-12 填-导数切线平行

• 2005-北京卷理-15 解-导数的几何意义与代数运算

• 2014-广东卷文-21 解-导数存在性