2014-广东卷文-21 解-导数存在性

本题导读

(2) $f(x_0)-f(\frac{1}{2})=\frac{1}{12}(x_0-\frac{1}{2})(4x_0^2+14x_0+7+12a)$，问题化为二次方程在 $(0,\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2},1)$ 有解。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+x^2+ax+1$（$a\in \mathbf{R}$）.

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 当 $a<0$ 时，试讨论是否存在 $x_0\in \left(0,\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2},1\right)$，使得 $f(x_0)=f\left(\frac{1}{2}\right)$.

🔍【思路分析】

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(1) $f^{\prime }(x)=x^2+2x+a$ 按判别式分类；(2)因式分解后研究二次方程 $4x^2+14x+7+12a=0$ 的根的分布。

✅【答案】

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(1) $a⩾1$ 时在 $\mathbf{R}$ 上递增；$a<1$ 时增区间为 $\left(-\infty ,-1-\sqrt{1-a}\right)$ 与 $\left(-1+\sqrt{1-a},+\infty \right)$，减区间为 $\left(-1-\sqrt{1-a},-1+\sqrt{1-a}\right)$ (2) 当 $a\in \left(-\frac{25}{12},-\frac{5}{4}\right)\cup \left(-\frac{5}{4},-\frac{7}{12}\right)$ 时存在，否则不存在

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=x^2+2x+a$，判别式 $\Delta =4-4a$。 当 $a⩾1$ 时 $\Delta ⩽0$，$f^{\prime }(x)⩾0$，$f$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增； 当 $a<1$ 时两根为 $x_1=-1-\sqrt{1-a}$，$x_2=-1+\sqrt{1-a}$，$f$ 在 $\left(-\infty ,x_1\right]$，$\left[x_2,+\infty \right)$ 递增，在 $\left[x_1,x_2\right]$ 递减。 (2) $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{24}+\frac{1}{4}+\frac{a}{2}+1=\frac{31}{24}+\frac{a}{2}$。 $f(x_0)-f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{3}{x}_0^3+x_0^2+a{x}_0-\frac{7}{24}-\frac{a}{2}=\frac{1}{12}\left(x_0-\frac{1}{2}\right)\left(4x_0^2+14x_0+7+12a\right)$。 故 $f(x_0)=f\left(\frac{1}{2}\right)$ 且 $x_{0}eq\frac{1}{2}$ 等价于方程 $4x_0^2+14x_0+7+12a=0$ 在 $\left(0,\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2},1\right)$ 上有解。 其根为 $x=\frac{-7\pm \sqrt{21-48a}}{4}$（$a<0$ 保证判别式 $84-192a>0$）。负根 $x_{-}=\frac{-7-\sqrt{21-48a}}{4}<0$ 恒不在区间内。正根 $x_{+}=\frac{-7+\sqrt{21-48a}}{4}$： $x_{+}\in \left(0,\frac{1}{2}\right)⟺\sqrt{21-48a}\in (7,9)⟺a\in \left(-\frac{5}{4},-\frac{7}{12}\right)$； $x_{+}\in \left(\frac{1}{2},1\right)⟺\sqrt{21-48a}\in (9,11)⟺a\in \left(-\frac{25}{12},-\frac{5}{4}\right)$。 综上，当 $a\in \left(-\frac{25}{12},-\frac{5}{4}\right)\cup \left(-\frac{5}{4},-\frac{7}{12}\right)$ 时存在这样的 $x_0$，否则不存在。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数研究单调区间与方程有解问题

2. 核心方法：判别式分类 + 因式分解 + 根的分布

3. 避坑指南：$f(x_0)-f(\frac{1}{2})$ 中 $(x_0-\frac{1}{2})$ 因子必须先提出来——题目区间恰好挖去 $\frac{1}{2}$；剩余二次方程的根按 $\sqrt{21-48a}$ 与 $7,9,11$ 的比较分段，对应 $a$ 的分界 $-\frac{7}{12},-\frac{5}{4},-\frac{25}{12}$；负根恒不在 $(0,1)$ 内，只需讨论正根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数压轴的”等值点存在性”问题：等式化归为二次方程根的分布讨论。

2. 结论推广: 推广：$f(x_0)=f(x^{\ast })$ 型存在性问题，因式分解出 $(x_0-x^{\ast })$ 后转化为二次（或高次）方程在给定区间的解的存在性，用区间端点值定参数范围。

3. 方法推广: 根的分布讨论流程：写出根的显式表达式 → 与区间端点比较 → 逐段解参数不等式 → 验证边界是否可取。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷理-21 解-代数式有意义的条件
• 2014-新课标I卷理-21 解-求曲线的切线