2007-广东卷文-15 填-直径圆切线求角

本题导读

本题考查圆的切线性质，以及圆周角定理。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(文)） （几何证明选讲选做本题） 如图所示，圆 $O$ 的直径 $AB=6$，$C$ 为圆周上一点，$BC=3$，过 $C$ 作圆的切线 $l$，过 $A$ 作 $l$ 的垂线 $AD$，垂足为 $D$，则 $\angle DAC=$　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $AB$ 为直径：$\angle ACB=90^{\circ }$；$\cos \angle ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\angle ABC=60^{\circ }$。
2. 同弧圆心角：$\angle AOC=2\angle ABC=120^{\circ }$；$OA=OC$ 得 $\angle OCA=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$。
3. 切线性质：$OC\perp l$；又 $AD\perp l$，故 $AD\parallel OC$。
4. 两直线平行内错角：$\angle DAC=\angle OCA=30^{\circ }$。

✅【答案】

点击查看答案

$30^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $AB$ 是直径，所以 $\angle ACB=90^{\circ }$．在直角三角形 $ABC$ 中，$AB=6$，$BC=3$，故 $\cos \angle ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$，从而 $\angle ABC=60^{\circ }$． 圆心角 $\angle AOC=2\angle ABC=120^{\circ }$，而 $OA=OC$，所以 $\angle OCA=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$． 又因为半径 $OC$ 垂直于切线 $l$，且 $AD\perp l$，所以 $AD\parallel OC$．因此 $\angle DAC=\angle OCA=30^{\circ }$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直径圆切线求角

核心方法：直径对直角：$\angle ACB=90^{\circ }$；$\cos \angle ABC=\frac{1}{2}$ 得 $60^{\circ }$；$AD\parallel OC$ 平移出 $30^{\circ }$

避坑指南：圆心角等于同弧圆周角两倍；切线垂直过切点的半径是平行 $AD\parallel OC$ 的依据，漏此步角度传递即断

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的性质证明（几何证明选讲）考查直径圆周角与切线性质，广东文 2014/2015 第 15 题同模块

结论推广：直径所对圆周角为直角；切线垂直过切点半径；平行线转移角是求角常用桥

方法推广：圆中求角三件套：直径定直角、圆心角倍圆周角、切线垂直造平行

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练(Links)

• 2015-广东卷文-15 填-圆的切线
• 2014-广东卷文-15 填-几何证明选讲
• 2013-广东卷理-15 填-圆周角定理与直径性质
• 2012-广东卷文-15 填-圆幂定理求线段