2007-广东卷理-01 单-集合交集运算

本题导读

本题考查函数定义域的求解与集合交集的运算。核心在于分别提取分母根式及对数函数的数学性质约束，求出两个集合后取交集。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ 的定义域为 $M$，$g(x)=\ln (1+x)$ 的定义域为 $N$，则 $M\cap N=$ ()

A. $\{x|x>-1\}$　　B. $\{x|x<1\}$　　C. $\{x|-1<x<1\}$　　D. $\varnothing$

🔍【思路分析】

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1. 求集合 $M$：根式在分母上，满足被开方数严格大于 0，即 $1-x>0⟹x<1$。

2. 求集合 $N$：对数函数的真数严格大于 0，即 $1+x>0⟹x>-1$。

3. 求 $M\cap N$：联立 $x<1$ 且 $x>-1$，卡出公共区间。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：对于函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$，由于根式位于分母，其被开方数必须严格大于 0： $1-x>0⟹x<1$ 故定义域集合为： $M=\{x|x<1\}$。

对于函数 $g(x)=\ln (1+x)$，根据对数性质，真数部分必须严格大于 0： $1+x>0⟹x>-1$ 故定义域集合为： $N=\{x|x>-1\}$。

求两个集合的交集 $M\cap N$，即取两者的公共部分： $M\cap N=\{x|x<1\}\cap \{x|x>-1\}=\{x|-1<x<1\}$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分母根式非负约束（ $\sqrt{u}⟹u>0$）、对数真数严格正约束（ $\ln u⟹u>0$）。
2. 核心方法：不等式组交集法。
3. 避坑指南：

• 基础送分题，注意不要把 $1-x>0$ 误算成 $x>1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自高中数学必修一第一章《集合与函数概念》的基础练习题。

2. 结论推广: 多种基础初等函数复合时，定义域各约束条件之间为“且”的关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-12 单-数列单调性
• 2022-新高考II卷-12 多-不等式最值