2007-广东卷理-06 单-统计图表频数分布条形图

本题导读

本题考查程序框图的循环边界判定以及条形统计图的分组对应。核心在于准确找出目标身高区间所对应的项数标号 $i$ 的取值范围，进而通过循环执行的终点位置锁定判断框内的不等式条件。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 图 1 是某县参加 2007 年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为 $A_1,A_2,\dots ,A_{10}$（如 $A_2$ 表示身高（单位: $\text{cm}$）在 $[150,155)$ 内的学生人数）. 图 2 是统计图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图. 现要统计身高在 $160\sim 180\text{ cm}$（含 $160\text{ cm}$，不含 $180\text{ cm}$）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是() （选项见图 2 下方）

A. $i<6$　　　　　B. $i<7$　　　　　C. $i<8$　　　　　D. $i<9$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确立统计项 $A_i$ 与身高区间的映射关系：

• 已知 $A_1\to [145,150)$
• $A_2\to [150,155)$
• $A_3\to [155,160)$
• $A_4\to [160,165)$
• $A_5\to [165,170)$
• $A_6\to [170,175)$
• $A_7\to [175,180)$ 由此可知，目标区间 $[160,180)$ 包含的频数项为 $A_4,A_5,A_6,A_7$。

2. 追踪流程图的执行路径：

• 初始值： $s=0,i=4$。
• 第一次循环：累计 $A_4$， 执行 $s=s+A_4$， 随后自增 $i=4+1=5$。
• 依次循环，当累加完 $A_7$ 后，执行 $s=s+A_7$， 随后计数器变为 $i=7+1=8$。

3. 判定退出循环的边界：

• 当 $i=8$ 时，不需要再将 $A_8$ 计入总和，此时必须走“否”分支退出循环并输出结果。

• 故当 $i=4,5,6,7$ 时满足条件（走“是”），当 $i=8$ 时不满足条件（走“否”），判定不等式。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：首先，根据条形统计图的横轴分布和题目已知条件，依次列出各频数分量 $A_i$ 所对应的具体身高区间：

• $A_1$ 对应身高区间为 $[145,150)$
• $A_2$ 对应身高区间为 $[150,155)$
• $A_3$ 对应身高区间为 $[155,160)$
• $A_4$ 对应身高区间为 $[160,165)$
• $A_5$ 对应身高区间为 $[165,170)$
• $A_6$ 对应身高区间为 $[170,175)$
• $A_7$ 对应身高区间为 $[175,180)$

现要统计身高在 $160\sim 180\text{ cm}$（含 $160\text{ cm}$，不含 $180\text{ cm}$）内的学生人数，对应的目标累加和为： $s=A_4+A_5+A_6+A_7$

追踪图 2 算法流程图的动态执行步骤：

1. 初始赋初值： $s=0,i=4$；
2. 进入判断框，由于需要累加 $A_4$，此时应满足条件进入“是”分支：

• 累加： $s=0+A_4=A_4$
• 自增： $i=4+1=5$

3. 此时 $i=5$，仍需累加 $A_5$， 满足条件进入“是”分支：

• 累加： $s=A_4+A_5$
• 自增： $i=5+1=6$

4. 此时 $i=6$，仍需累加 $A_6$， 满足条件进入“是”分支：

• 累加： $s=A_4+A_5+A_6$
• 自增： $i=6+1=7$

5. 此时 $i=7$，仍需累加最后一项 $A_7$， 必须满足条件进入“是”分支：

• 累加： $s=A_4+A_5+A_6+A_7$
• 自增： $i=7+1=8$

6. 此时 $i=8$，目标数据已收集完毕，不能再将 $A_8$ 错误计入。因此， 当 $i=8$ 时必须不满足条件，从而强行分流到“否”分支，输出总和 $s$ 并结束程序。

综上所述，计数变量 $i$ 的行为特征为：

• 当 $i=4,5,6,7$ 时，判断框内的条件必须成立（为“真”）；
• 当 $i=8$ 时，判断框内的条件必须不成立（为“假”）。

结合选项，唯有 $i<8$ 完全契合此边界分流要求（ $7<8$ 为真， $8<8$ 为假）。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：循环结构中计数变量的自增步长（ $i=i+1$）与判断边界、分组频数与条形图的区间互化。
2. 核心方法：循环步骤人工逐次追踪法。
3. 避坑指南：

• 循环大题最易错的点在于将终止边界看错一位（差1错选）。

• 很多同学看到最后一项是 $A_7$， 就盲目地认为条件是 $i\le 7$ 或 $i<7$， 从而误选 B。

• 必须时刻清醒：在流程图中，是先执行累加 $s=s+A_i$， 紧接着再执行自增 $i=i+1$。当把最后一项 $A_7$ 加进去之后， 变量 $i$ 的值已经由于加1而变成 8 了。随后它再次回到判断框时， 是拿着 8 去做判定的。理清“先加项、后变号”的先后顺序可彻底免疫此类陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于高中数学必修三第一章《算法初步》中关于条件与循环控制框图的课后标准演练题。

2. 结论推广: 对于此类先累加再自增的直到型/当型循环（形如 while i < N: ），要累加到 $A_k$ 为止，则判断条件恒设定为 $i<k+1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 14.03 频率分布直方图中的数据计算