2007-广东卷理-07 单-数学建模代数方程组

本题导读

本题是一道构思精巧的运筹优化与数学建模创新题。环形物流调配问题在正面直接规划时容易因调动方向的交叉产生混乱。核心在于建立环形代数模型，设相邻点之间的调运量为变量，将“总件次”转化为绝对值之和的函数，利用绝对值的几何意义求解最小总和。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图. 公司在年初分配给 $A,B,C,D$ 四个维修点某种配件各 50 件. 在使用前发现需将 $A,B,C,D$ 四个维修点的这批配件分别调整为 40, 45, 54, 61 件, 但调整只能在相邻维修点之间进行, 那么要完成上述调整, 最少的调动件次 ($n$ 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 $n$) 为()


A. 15　　　　　　　B. 16　　　　　　　C. 17　　　　　　　D. 18

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算盈亏盈余量：

• 初始时各点均为 50 件。
• 调整目标： $A\to 40,B\to 45,C\to 54,D\to 61$。
• 计算各点的净盈余量（初始 - 目标）：
• $\Delta A=50-40=+10$ （需移出 10 件）
• $\Delta B=50-45=+5$ （需移出 5 件）
• $\Delta C=50-54=-4$ （需移入 4 件）
• $\Delta D=50-61=-11$ （需移入 11 件）

2. 设定调运变量并构建环形网络方程：

• 设从 $A$ 向 $B$ 调运 $x_1$ 件（若为负则表示由 $B$ 向 $A$ 调运，下同）；

• 设从 $B$ 向 $C$ 调运 $x_2$ 件；

• 设从 $C$ 向 $D$ 调运 $x_3$ 件；

• 设从 $D$ 向 $A$ 调运 $x_4$ 件。

• 依据每个节点的净充盈平衡建立方程组，用 $x_1$ 统一表达所有变量，将目标总调动件次 $S=|x_1|+|x_2|+|x_3|+|x_4|$ 转化为关于 $x_1$ 的一元绝对值函数，利用数轴距离最值法求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：首先计算各维修点在调整前后的配件净盈亏件数（令盈余为正，亏缺为负）：

• $A$ 点： $50-40=+10$ 件（需要流出 10 件）；

• $B$ 点： $50-45=+5$ 件（需要流出 5 件）；

• $C$ 点： $50-54=-4$ 件（需要流入 4 件）；

• $D$ 点： $50-61=-11$ 件（需要流入 11 件）。

按环形顺时针方向，设相邻维修点之间的配件实际调运件数分别为：

• 设由 $A$ 向 $B$ 调运 $x_1$ 件；
• 设由 $B$ 向 $C$ 调运 $x_2$ 件；
• 设由 $C$ 向 $D$ 调运 $x_3$ 件；
• 设由 $D$ 向 $A$ 调运 $x_4$ 件。

根据各节点的配件调入、调出及各自守恒的盈亏平衡关系，建立方程组：

• 对于 $A$ 点： $\Delta A=x_1-x_4=10⟹x_4=x_1-10$
• 对于 $B$ 点： $\Delta B=x_2-x_1=5⟹x_2=x_1+5$
• 对于 $C$ 点： $\Delta C=x_3-x_2=-4⟹x_3=x_2-4=(x_1+5)-4=x_1+1$
• 对于 $D$ 点： $\Delta D=x_4-x_3=-11⟹(x_1-10)-(x_1+1)=-11$，此式恒真，验证了方程组自洽。

要完成上述调整，总的调动件次 $S$ 为各个调运段绝对值的代数总和： $S=|x_1|+|x_2|+|x_3|+|x_4|$ 将上述用 $x_1$ 表达的各消元解析式代入总和式中： $S=|x_1|+|x_1+5|+|x_1+1|+|x_1-10|$ 将各项在数轴上的几何距离形态进行规范重组排序： $S=|x_1-10|+|x_1+5|+|x_1+1|+|x_1-0|$

这是一个典型的绝对值一元函数最值模型。在几何学上， $S$ 表示数轴上的动点 $x_1$ 到四个定点 $10,-5,-1,0$ 的距离之和。 根据数轴绝对值距离夹逼定理，当动点 $x_1$ 落在正中间的两个定点 $-1$ 与 $0$ 组成的闭区间时（即 $-1\le x_1\le 0$），总距离之和 $S$ 取得全域绝对最小值。

任意在其最优区间内取一个整数，例如令 $x_1=0$（此时 $A$ 与 $B$ 之间不发生调运），代入计算总件次： $S_{\text{min}}=|0-10|+|0+5|+|0+1|+|0-0|=10+5+1+0=16\text{ 件次}$ (注：若取 $x_1=-1$， 代入得 $S=|-11|+|4|+|0|+|-1|=11+4+0+1=16$， 结果完全相同)

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：环形物流网络流守恒方程构建、多元绝对值之和的数轴几何最值判据（中位数夹逼法）。
2. 核心方法：一元代数消元法、数轴几何法。
3. 避坑指南：

• 环形调配切忌盲目靠肉眼去猜去凑，很容易因为漏掉反向调运方案（例如从 $B$ 向 $A$ 送）而错选。
• 牢记“环形调配必能消元转化为一元绝对值之和”的通用数模结论。一旦写出 $S=|x_1|+|x_1+5|+|x_1+1|+|x_1-10|$， 将 4 个零点排序为 $-5,-1,0,10$。最值必然在正中间的 $[-1,0]$ 区间取得， 随便拿一个分界点（如0）代入即可实现极限口算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：运筹学基础（货物调配问题）、数学建模与代数方程组是广东卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是运筹学基础（货物调配问题）、数学建模与代数方程组的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用变量设定约束消元法、绝对值之和极值讨论法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷文-17 填-格点多边形
• 2014-辽宁卷理-16 填-柯西不等式