2014-新课标I卷理-11 单-极值

本题导读

本题考查三次函数的零点分布问题。通过求导分析函数的单调性与极值，利用“极小值大于0”或“极大值小于0”等几何条件约束零点的个数与位置，是导数综合应用中的经典题型。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 已知函数 $f(x)=a{x}^3-3x^2+1$，若 $f(x)$ 存在唯一的零点 $x_0$，且 $x_0>0$，则实数 $a$ 的取值范围是 ()

A. $(2,+\infty )$　　　　B. $(1,+\infty )$　　　　C. $(-\infty ,-2)$　　　　D. $(-\infty ,-1)$

🔍【思路分析】

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1. 求导分析：$f^{\prime }(x)=3a{x}^2-6x=3x(ax-2)$。
2. 分类讨论 $a$：
   • 若 $a=0$，$f(x)$ 退化为二次函数，易判定其零点情况。
   • 若 $a>0$，$f(x)$ 的极值点为 $0$ 和 $2/a$。观察 $f(0)=1$ 以及 $x\to -\infty$ 时的趋势。
   • 若 $a<0$，$f(x)$ 的极值点同样为 $0$ 和 $2/a$。此时需确保函数在 $x\le 0$ 时没有零点，且在 $x>0$ 时有唯一零点。
3. 利用几何特征锁定条件：唯一正零点意味着函数在特定区间的极值必须满足不穿过 $x$ 轴的条件。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=a{x}^3-3x^2+1$，则 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2-6x=3x(ax-2)$。 注意到 $f(0)=1>0$。

情况 ①：$a=0$ $f(x)=-3x^2+1$。其零点为 $x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$，存在两个零点，不符题意。

情况 ②：$a>0$ 当 $x\to -\infty$ 时，$f(x)\to -\infty$。 由于 $f(0)=1>0$，根据零点存在性定理，$f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 内必有一个零点。 若要满足“唯一零点且 $x_0>0$”，则 $a>0$ 均不成立。

情况 ③：$a<0$ 此时极值点为 $x_1=\frac{2}{a}<0$ 和 $x_2=0$。

• 当 $x\in (-\infty ,\frac{2}{a})$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in (\frac{2}{a},0)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (0,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。 已知 $f(0)=1$，且当 $x\to +\infty$ 时 $f(x)\to -\infty$，故 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内必有唯一的零点。 为了保证总零点唯一，必须让 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0]$ 上没有零点。 由单调性可知，$f(x)$ 在 $(-\infty ,0]$ 上的最小值在 $x=\frac{2}{a}$ 处取得。 要使 $f(x)>0$ 在 $(-\infty ,0]$ 上恒成立，只需： $f(\frac{2}{a})>0$ 代入解析式： $a(\frac{2}{a}{)}^3-3(\frac{2}{a}{)}^2+1>0$ $\frac{8}{a^2}-\frac{12}{a^2}+1>0⟹1-\frac{4}{a^2}>0$ 即 $a^2>4$。 由于前提条件是 $a<0$，解得 $a<-2$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三次函数的单调性与零点个数。 2. 解题技巧：三次函数 $f(x)$ 的零点个数通常由极值点的正负号决定。对于本题，$f(0)=1$ 是一个关键的“锚点”。

2. 核心方法：求导后分类讨论 $a$，利用极值点函数值的正负锁定零点个数。

3. 避坑指南：容易忽略 $x\to -\infty$ 时的极限值，从而漏掉 $a>0$ 时必有负零点的判断。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 罗尔定理的逆用、三次方程的根与系数关系。

2. 结论推广: 若三次函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 有唯一零点，条件通常涉及极大值与极小值的乘积关系。

3. 方法推广: 面对“唯一零点”问题，数形结合观察极值位置是最高效的突破口。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2025-上海卷-19 解-导数极值
• 2023-新高考II卷-11 多-导数极值
• 2015-陕西卷文-15 填-极值切线