2007-广东卷理-10 填-数量积分配律

本题导读

本题考查平面向量数量积的基本代数运算与性质。利用数量积的分配律将目标式展开，代入模长与夹角公式直接求解。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 若向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=1$， $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 的夹角为 $120^{\circ }$，则 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}+\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=$ ________。

🔍【思路分析】

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1. 性质转化： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}{|}^2$。

2. 定义展开： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|\cdot \cos ⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩$。

3. 数值代入：代入已知模长 1 和 $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：根据平面向量数量积的数理性质与定义公式展开：

• 自乘项： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}{|}^2$
• 互乘项： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|\cdot \cos 120^{\circ }$

将已知数据 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=1$ 以及 $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ 代入目标多项式中： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}+\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|\cdot \cos 120^{\circ }$ $=1^2+1\times 1\times \left(-\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积通用公式 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$、自乘性质 ${\mathbf{a}}^2=|\mathbf{a}{|}^2$。
2. 核心方法：公式直接代入法。
3. 避坑指南：

• 牢记特殊角三角函数值， $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ 符号千万不要记错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量的数量积运算、数量积的分配律是广东卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是向量的数量积运算、数量积的分配律的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用展开代入法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2011-福建卷文-13 填-向量数量积坐标运算
• 2013-新课标II卷理-13 填-平面向量数量积的性质及运算
• 2015-天津卷文-13 填-向量数量积