2007-广东卷理-11 填-抛物线标准方程焦点准线

本题导读

本题考查线段垂直平分线与抛物线标准几何性质的联动求解。核心在于先写出线段 $OA$ 的垂直平分线方程，求出其与 $x$ 轴的交点（即抛物线的焦点）， 进而反推出准线方程。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，有一点 $A(2,1)$. 若线段 $OA$ 的垂直平分线过抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点，则该抛物线的准线方程是________。

🔍【思路分析】

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1. 求线段 $OA$ 的中点与斜率：

• 原点 $O(0,0)$， $A(2,1)$，中点 $M\left(1,\frac{1}{2}\right)$。
• 直线 $OA$ 的斜率 $k_{OA}=\frac{1-0}{2-0}=\frac{1}{2}$。

2. 写出垂直平分线方程：

• 垂直平分线的斜率 $k=-\frac{1}{k_{OA}}=-2$。
• 点斜式： $y-\frac{1}{2}=-2(x-1)⟹2x+y-\frac{5}{2}=0$。

3. 定位抛物线的焦点：

• 抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点位于 $x$ 轴正半轴，坐标为 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$。
• 令垂直平分线方程中的 $y=0$， 求出其与 $x$ 轴的交点横坐标，即可对接 $\frac{p}{2}$。

4. 直出准线方程：准线方程公式为 $x=-\frac{p}{2}$。

✅【答案】

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$x=-\frac{5}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

解：已知原点 $O(0,0)$， 定点 $A(2,1)$。

• 线段 $OA$ 的中点 $M$ 坐标为： $\left(\frac{0+2}{2},\frac{0+1}{2}\right)=\left(1,\frac{1}{2}\right)$
• 直线 $OA$ 的斜率为： $k_{OA}=\frac{1-0}{2-0}=\frac{1}{2}$

根据两条直线垂直时斜率乘积等于 $-1$ 的铁律，线段 $OA$ 的垂直平分线的斜率为： $k=-\frac{1}{k_{OA}}=-2$ 套用点斜式方程写出该垂直平分线方程： $y-\frac{1}{2}=-2(x-1)⟹2x+y-\frac{5}{2}=0$

对于标准抛物线 $y^2=2px(p>0)$，其焦点 $F$ 分布在 $x$ 轴的正半轴上，标准坐标为： $F\left(\frac{p}{2},0\right)$

因为线段 $OA$ 的垂直平分线恰好通过该焦点， 将 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ 代入平分线方程中： $2\times \left(\frac{p}{2}\right)+0-\frac{5}{2}=0⟹p=\frac{5}{2}⟹\frac{p}{2}=\frac{5}{4}$ 由此直接确定焦点的横坐标为 $\frac{5}{4}$。

根据抛物线的几何性质，焦点在 $x$ 轴正半轴的抛物线，其准线方程与焦点关于 $y$ 轴对称： $x=-\frac{p}{2}=-\frac{5}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：垂直平分线系构建（斜率负倒数且过中点）、抛物线 $y^2=2px$ 的焦点 $F(\frac{p}{2},0)$ 与准线 $x=-\frac{p}{2}$ 的几何对应。
2. 核心方法：几何方程代入法。
3. 避坑指南：

• 题目最终要求求解的是准线方程。很多同学大费周章算出了 $\frac{p}{2}=\frac{5}{4}$ 之后， 习惯性直接填了 $\frac{5}{4}$ 或者是 $p$ 的值 $\frac{5}{2}$ 导致功亏一篑。填空题动笔前，务必重新复看一遍题干结尾要求的是哪个基本量。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线段垂直平分线的方程、抛物线的标准方程与焦点、准线是广东卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是线段垂直平分线的方程、抛物线的标准方程与焦点、准线的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用几何垂直平分点斜式法、抛物线基本量对齐法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-16 填-柯西不等式
• 2008-大纲卷II文-15 填-抛物线中点弦面积
• 2008-大纲卷I理-14 填-抛物线