2008-大纲卷I理-14 填-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与其几何性质（焦点、顶点）。通过焦点位置确定抛物线方程中的参数，进而求出曲线与坐标轴的交点并计算三角形面积。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 已知抛物线 $y=a{x}^2-1$ 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将抛物线方程化为标准形式 $x^2=\frac{1}{a}(y+1)$，确定其顶点坐标。
2. 根据焦点为原点 $(0,0)$，利用顶点到焦点的距离 $\frac{p}{2}$ 求出参数 $a$ 的值。
3. 求出抛物线与 x 轴、y 轴的三个交点坐标，借助三角形面积公式完成计算。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

将抛物线方程 $y=a{x}^2-1$ 变形为 $x^2=\frac{1}{a}(y+1)$。 该抛物线的顶点坐标为 $(0,-1)$。 因为焦点为坐标原点 $(0,0)$，且焦点在顶点的上方，所以抛物线开口向上，即 $a>0$。 由抛物线几何性质，顶点到焦点的距离为： $\frac{p}{2}=0-(-1)=1\Rightarrow p=2$ 因此 $\frac{1}{a}=2p=4\Rightarrow a=\frac{1}{4}$。 抛物线方程为 $y=\frac{1}{4}{x}^2-1$。 令 $x=0$，得与 y 轴的交点（即顶点）为 $A(0,-1)$； 令 $y=0$，得 $\frac{1}{4}{x}^2-1=0\Rightarrow x=\pm 2$，与 x 轴的交点为 $B(-2,0)$ 和 $C(2,0)$。 以这三个交点为顶点的三角形 $ABC$ 底边长为 $|BC|=2-(-2)=4$，高为高在 y 轴上的截距绝对值 $h=|-1|=1$。 所以三角形的面积为： $S=\frac{1}{2}\times |BC|\times h=\frac{1}{2}\times 4\times 1=2$ 故答案为 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：非标准形式抛物线向标准方程的转化、焦点与顶点的相对位置关系。
2. 核心方法：几何法确定参数法。
3. 避坑指南：注意方程中 $x$ 与 $y$ 的主次位置。方程为 $y=a{x}^2-1$ 时，对称轴为 y 轴，切勿套用对称轴为 x 轴的公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中抛物线定义与方程平移变换的基本综合题。
2. 结论推广：对于抛物线 $y=a{x}^2+k(a>0)$，若焦点为原点，则必有 $k=-\frac{1}{4a}$，其与两坐标轴交点构成的三角形面积恒为 $\frac{1}{4a\sqrt{a}}$。

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类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-09 填-抛物线弦长
• 2009-北京卷理-08 单-抛物线
• 2009-四川卷文-13 填-抛物线焦准距