2007-广东卷理-16 解-三角形面积公式同角三角函数关

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算及其在几何中的应用。第一问可通过构造向量求出余弦值进而求出正弦值，或利用三角形面积公式求解；第二问将角为钝角转化为向量夹角为钝角且不共线的问题，利用数量积严格小于 0 确定参数范围。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 已知 $△ABC$ 顶点的直角坐标分别为 $A(3,4)$， $B(0,0)$， $C(c,0)$.

(1) 若 $c=5$，求 $\sin \angle A$ 的值；

(2) 若 $\angle A$ 是钝角，求 $c$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 当 $c=5$ 时，各点坐标明确。写出向量 $\overrightarrow{AB}=(-3,-4)$ 和 $\overrightarrow{AC}=(2,-4)$。
• 利用余弦公式 $\cos \angle A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|}$ 计算其值，再由 $\sin \angle A=\sqrt{1-{\cos }^2\angle A}$ 求解。

2. 第二问：

• $\angle A$ 是钝角等价于 $\cos \angle A<0$ 且 $\angle A\ne \pi$（三点不共线）。

• 由 $\cos \angle A<0⟺\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}<0$。

• 写出含参向量： $\overrightarrow{AB}=(-3,-4)$， $\overrightarrow{AC}=(c-3,-4)$。

• 建立不等式 $-3(c-3)+(-4)\times (-4)<0$， 求解并排除共线情况。

✅【答案】

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因此𝑐> 253

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 当 $c=5$ 时， 顶点坐标为 $A(3,4),B(0,0),C(5,0)$。 根据坐标性质， 建立以 $A$ 为起点的两个边向量： $\overrightarrow{AB}=(0-3,0-4)=(-3,-4)$ $\overrightarrow{AC}=(5-3,0-4)=(2,-4)$

计算两向量的模长及数量积： $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3{)}^2+(-4{)}^2}=5$ $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2^2+(-4{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-3)\times 2+(-4)\times (-4)=-6+16=10$

利用向量夹角公式求出 $\cos \angle A$ 的值： $\cos \angle A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|}=\frac{10}{5\times 2\sqrt{5}}=\frac{10}{10\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

因为 $\angle A$ 为 $△ABC$ 的内角， 且 $\cos \angle A>0$， 故 $\angle A$ 为锐角，其正弦值为正： $\sin \angle A=\sqrt{1-{\cos }^2\angle A}=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) 由题意知， $A(3,4),B(0,0),C(c,0)$。 写出含参数 $c$ 的边向量坐标表示： $\overrightarrow{AB}=(-3,-4)$ $\overrightarrow{AC}=(c-3,-4)$

若 $\angle A$ 是钝角，其等价的代数充要条件为：两边向量的夹角为钝角，即满足数量积严格小于 0 且两向量不共线（共线时夹角为 $\pi$， 三点无法构成三角形）。 首先由数量积小于 0 建立不等式： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}<0$ 代入坐标分量： $(-3)\times (c-3)+(-4)\times (-4)<0$ $-3c+9+16<0⟹-3c+25<0⟹3c>25$ 解得： $c>\frac{25}{3}$

下面检验共线约束：若 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 共线，则其对应坐标成比例： $\frac{-3}{c-3}=\frac{-4}{-4}⟹\frac{-3}{c-3}=1⟹c-3=-3⟹c=0$ 而已求范围为 $c>\frac{25}{3}$， 此时 $c=0$ 显然不在此区间内，说明三点自动满足不共线要求。

所以，实数 $c$ 的取值范围是 $\left(\frac{25}{3},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量夹角坐标公式、内角为钝角的向量数量积特征（ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}<0$）。
2. 核心方法：坐标直接代入法。
3. 避坑指南：

• 大题中由“角为钝角”转化为“数量积小于0”时，必须习惯性提及排除共线（即角等于 $180^{\circ }$）的情况。虽然本题算出的边界自动规避了 $c=0$， 但在步骤分上如果不写， 容易被阅卷老师以逻辑漏洞为由扣掉 1 分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自高中数学必修四第二章《平面向量》中向量数量积与坐标运算的经典结合题。

2. 结论推广: 设 $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$， 两向量夹角为钝角 $⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2<0$ 且 $x_1{y}_2-x_2{y}_1\ne 0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-12 单-数列单调性
• 2022-新高考II卷-12 多-不等式最值