2015-广东卷理-16 解-向量坐标

本题导读

本题是广东卷解答题的第一题，将平面向量的坐标运算与三角恒等变换相结合。考查向量垂直的充要条件、向量夹角公式以及利用辅助角公式解三角方程的能力。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知向量 $\vec{m}=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$，$\vec{n}=(\sin x,\cos x)$，$x\in (0,\frac{\pi }{2})$.

(1) 若 $\vec{m}\perp \vec{n}$，求 $\tan x$ 的值；

(2) 若 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角为 $\frac{\pi }{3}$，求 $x$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用向量垂直的充要条件 $\vec{m}\cdot \vec{n}=0$，建立关于 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的等式，进而求出 $\tan x$。
2. 第二问：利用向量夹角公式 $\cos \theta =\frac{\vec{m}\cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}$，代入已知夹角。通过辅助角公式将三角函数式化为单一名余弦（或正弦）函数，结合 $x$ 的取值范围求出具体数值。

✅【答案】

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这要求原方程为 $\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $\vec{m}\perp \vec{n}$，所以 $\vec{m}\cdot \vec{n}=0$。 即 $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=0$。 则 $\sin x=\cos x$。 因为 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$，$\cos x\ne 0$， 所以 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=1$。

(2) 首先计算向量的模： $|\vec{m}|=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2+(-\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1$。 $|\vec{n}|=\sqrt{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}=1$。 若 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角为 $\frac{\pi }{3}$，根据夹角公式： $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{\vec{m}\cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x}{1\times 1}=\frac{1}{2}$。 即 $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{1}{2}$。 利用辅助角公式化简： $\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}\times \frac{2}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{2}$（此处合并系数：$\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x)=\sin (x-\frac{\pi }{4})$） 整理得：$\sqrt{2}\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}⟹\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{4}$。 修正解析图中的推导步骤： 由 $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{1}{2}$ 得： $\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{4}$。 (注：原解析图中此处化简结果为 $\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 存在计算偏差，应以标准恒等变换为准：$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin (x-\frac{\pi }{4})$，代入 $\frac{1}{2}$ 得到 $\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。若按照图中 $\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 计算，则 $x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}⟹x=\frac{\pi }{2}$，但在开区间内不取。观察图中最后一步结果 $x=\frac{5\pi }{12}$，推导应为：$x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}⟹x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{12}$。这意味着原始方程应为 $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}$)。

假设方程化简结果为 $\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}$： 因为 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$，所以 $x-\frac{\pi }{4}\in (-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4})$。 在区间 $(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4})$ 内，若 $\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}$ 无解（因为 $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707>0.5$）。 重新校对图中逻辑：图中 $\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}$ 对应的是 $\cos (x-\text{常数})$ 的形式或是题目具体数值有误。 按照图中给出的 $x=\frac{5\pi }{12}$ 逆推结果： 若 $x=\frac{5\pi }{12}$，则 $x-\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi }{12}=\frac{\pi }{6}$，此时 $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$。 这要求原方程为 $\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：向量问题三角化是此类题目的标准套路。熟练掌握辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\varphi )$ 是解题关键。
• 避坑指南：在求出三角函数值后，务必回到 $x$ 的定义域内检查角度的合法性。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若 $\vec{n}=(\cos x,\sin x)$，则 $\vec{m}\cdot \vec{n}=\cos (x+\frac{\pi }{4})$。
• 方法推广:
  • 正切化法：第一问中 $\sin x=\cos x$ 也可直接通过除以 $\cos x$ 转化为 $\tan x=1$。
• 相关知识点:

  • - **向量模的性质**：单位向量的内积即为其夹角的余弦值。
    

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

• 2007-广东卷理-16 解-三角形面积公式同角三角函数关
• 2014-广东卷理-16 解-正弦型函数解析式确定
• 2013年广东卷理-16