2007-江西卷文-18 解-三角函数图象与切线中点

本题导读

本题考查三角函数图象。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 如图，函数 $y=2\cos (\omega x+\theta )$（$x\in \mathbb{R}$，$0⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2}$）的图象与 $y$ 轴交于点 $(0,\sqrt{3})$，且在该点处切线的斜率为 $-2$． （1）求 $\theta$ 和 $\omega$ 的值； （2）已知点 $A\left(\frac{\pi }{2},0\right)$，点 $P$ 是该函数图象上的一点，点 $Q(x_0,y_0)$ 是 $PA$ 的中点，当 $y_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_0\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 时，求 $x_0$ 的值．

🔍【思路分析】

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（1）图象过 $(0,\sqrt{3})$：$2\cos \theta =\sqrt{3}\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{6}$；$y^{\prime }=-2\omega \sin (\omega x+\theta )$，在 $x=0$ 处斜率为 $-2$：$-2\omega \sin \theta =-2\Rightarrow \omega =2$。 （2）设 $P(x_1,y_1)$，中点 $Q$：$x_0=\frac{x_1+\pi /2}{2}$、$y_0=\frac{y_1}{2}$；由 $y_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $y_1=\sqrt{3}$，代入函数解 $x_1$，再由范围定 $x_0$。

✅【答案】

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（1）$\theta =\frac{\pi }{6}$，$\omega =2$；（2）$x_0=\frac{2\pi }{3}$ 或 $\frac{3\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）图象经过 $(0,\sqrt{3})$，得 $2\cos \theta =\sqrt{3}$，又 $0⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2}$，故 $\theta =\frac{\pi }{6}$． $y^{\prime }=-2\omega \sin (\omega x+\theta )$，在 $y$ 轴交点（$x=0$）处切线斜率为 $-2$：$-2\omega \sin \theta =-2$，即 $\omega \sin \frac{\pi }{6}=1$，得 $\omega =2$． （2）设 $P(x_1,y_1)$，由 $Q$ 是 $PA$ 的中点：$x_0=\frac{x_1+\frac{\pi }{2}}{2}$，$y_0=\frac{y_1}{2}$． 由 $y_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $y_1=\sqrt{3}$；又 $P$ 在图象上：$2\cos \left(2x_1+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}$，即 $\cos \left(2x_1+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$． 由 $x_0\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 及 $x_1=2x_0-\frac{\pi }{2}$，得 $x_1\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$，于是 $2x_1+\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{7\pi }{6},\frac{19\pi }{6}\right]$． 在此区间内满足余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的角只有 $\frac{11\pi }{6}$、$\frac{13\pi }{6}$，故 $x_1=\frac{5\pi }{6}$ 或 $x_1=\pi$． 代回中点公式：$x_0=\frac{2\pi }{3}$ 或 $x_0=\frac{3\pi }{4}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数图象与切线中点

核心方法：$2\cos \theta =\sqrt{3}$ 定 $\theta$，$y^{\prime }(0)=-2$ 定 $\omega$；中点公式反解 $x_0$

避坑指南：中点 $x_0=\frac{x_1+\frac{\pi }{2}}{2}$ 反解 $x_1$ 时勿忘乘 $2$ 减 $\frac{\pi }{2}$；角度范围要卡到具体解

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数图象 + 导数切线 + 中点坐标，三角综合题

结论推广：图象过点定初相、切线斜率定 $\omega$；中点坐标反解

方法推广：三角图象题用”点定值、切线定导数”双条件联立

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练(Links)

• 2007-大纲卷I文-11 单-导数的几何意义与切线三角形
• 2007-新课标卷文-10 单-导数的几何意义与切线三角形
• 2008-天津卷文-06 单-三角图象平移伸缩
• 2007-上海卷文-04 填-三角函数周期