2007-新课标卷文-11 单-球与三棱锥的组合体

本题导读

本题考查球的外接问题，以及三棱锥的体积公式。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） 已知三棱锥 $S-ABC$ 的各顶点都在一个半径为 $r$ 的球面上，球心 $O$ 在 $AB$ 上，$SO\perp$ 底面 $ABC$，$AC=\sqrt{2}r$，则球的体积与三棱锥体积之比是 ()

A. $\pi$　　　　　　　　B. $2\pi$　　　　　　　　C. $3\pi$　　　　　　　　D. $4\pi$

🔍【思路分析】

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1. $O$ 是球心且 $SO\perp$ 底面，$S$ 在球面上，故高 $SO=r$；$O$ 在 $AB$ 上，$AB$ 是底面截圆的直径，$AB=2r$。
2. $\angle ACB=90^{\circ }$，$BC=\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}=\sqrt{2}r$，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}r\times \sqrt{2}r=r^2$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为球心 $O$ 在 $AB$ 上，$A$、$B$ 在球面上，所以 $AB$ 是底面截圆的直径，$AB=2r$，且 $\angle ACB=90^{\circ }$． $BC=\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}=\sqrt{4r^2-2r^2}=\sqrt{2}r$，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}r\times \sqrt{2}r=r^2$． $SO\perp$ 底面 $ABC$，$S$ 在球面上而 $O$ 是球心，故 $SO=r$，$V_{S-ABC}=\frac{1}{3}\times r^2\times r=\frac{r^3}{3}$． 球的体积 $V_{\text{球}}=\frac{4}{3}\pi r^3$，体积比 $=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{r^3}{3}}=4\pi$．故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球与三棱锥的组合体

核心方法：球心在 $AB$ 上 $\Rightarrow AB$ 为大圆直径；$SO\perp$ 底面给出锥高

避坑指南：$AB=2r$（直径）与 $SO=r$（球半径）都从”球心位置”读出；误以为 $AB=r$ 会全盘皆错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球心在棱上、垂线过球心的组合体是外接球模型的基本形态。

结论推广：球心在底面内时底面对角线为直径，直径所对圆周角为直角。

方法推广：先定直径与锥高，再算底面积，体积比一步完成。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练(Links)

• 2010-新课标卷文-07 单-长方体外接球
• 2008-新课标卷文-14 填-六棱柱外接球