2007-新课标卷文-14 填-函数奇偶性（偶函数求参）

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及偶函数的定义。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） 设函数 $f(x)=(x+1)(x+a)$ 为偶函数，则 $a=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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展开后偶函数的充分必要条件是奇次项系数全为零：$a+1=0$。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=x^2+(a+1)x+a$．$f(x)$ 为偶函数 $⟺$ 对一切 $x$ 有 $f(-x)=f(x)$，即一次项系数 $a+1=0$，解得 $a=-1$． 此时 $f(x)=x^2-1$，确为偶函数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数奇偶性（偶函数求参）

核心方法：展开后令奇次项系数为零

避坑指南：展开比对系数比验证 $f(-x)=f(x)$ 更快；所得 $a$ 回代确认为偶函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多项式函数的奇偶性由奇次项系数决定。

结论推广：$f(x)=x^2+(a+1)x+a$ 为偶函数 $⟺a=-1$。

方法推广：展开比对系数是多项式奇偶性求参的标准路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练(Links)

• 2008-北京卷文-14 填-偶函数单调性条件判定
• 2012-广东卷文-04 单-函数奇偶性判断