2012-广东卷文-04 单-函数奇偶性判断

本题导读

本题考查函数奇偶性的判断。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(文)） 下列函数为偶函数的是()

A. $y=\sin x$　　　　　B. $y=x^3$　　　　　C. $y={\mathrm{e}}^x$　　　　　D. $y=\ln \sqrt{x^2+1}$

🔍【思路分析】

破题导航

$\ln \sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)$ 满足 $f(-x)=f(x)$，是偶函数，选 D。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

A 中 $\sin (-x)=-\sin x$，为奇函数；B 中 $(-x{)}^3=-x^3$，为奇函数；C 中 ${\mathrm{e}}^{-x}\ne \pm {\mathrm{e}}^x$，为非奇非偶函数。

D 中 $f(x)=\ln \sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)$，定义域为 $\mathbf{R}$，且 $f(-x)=\frac{1}{2}\ln \left((-x{)}^2+1\right)=f(x)$，为偶函数。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数、偶函数的定义；常见初等函数的奇偶性

核心方法：先看定义域，再算 $f(-x)$ 与 $\pm f(x)$ 比对

避坑指南：指数函数 $y={\mathrm{e}}^x$ 既不满足 $f(-x)=f(x)$ 也不满足 $f(-x)=-f(x)$，是非奇非偶函数；判断前先确认定义域关于原点对称。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇偶性判断题，与 2013 年北京卷文第 3 题、2014 年新课标Ⅱ理第 15 题同族。

结论推广：$\ln \sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)$ 是偶函数的常用变形；奇偶函数的四则运算：奇±奇=奇，偶±偶=偶。

方法推广：含根号或绝对值的奇偶性判断，先化简解析式（如去根号、去绝对值）再验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-03 单-偶函数减区间
• 2014-新课标II卷理-15 填-偶函数定义与性质
• 2013-天津卷文-07 单-偶函数不等式