2007-新课标卷文-20 解-古典概型与几何概型

本题导读

本题考查一元二次方程的判别式。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） 设有关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+2ax+b^2=0$． （1）若 $a$ 是从 $0$，$1$，$2$，$3$ 四个数中任取的一个数，$b$ 是从 $0$，$1$，$2$ 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； （2）若 $a$ 是从区间 $[0,3]$ 任取的一个数，$b$ 是从区间 $[0,2]$ 任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判别式 $\Delta =4(a^2-b^2)⩾0⟺a⩾b$（$a,b$ 非负）。
2. （1）按 $b=0,1,2$ 数 $a$ 的可取个数：$4+3+2=9$，总 $12$。
3. （2）在 $0⩽a⩽3$，$0⩽b⩽2$ 矩形内，$a⩾b$ 的面积 $={\int }_0^{2}ada+{\int }_2^{3}2da=2+2=4$。

✅【答案】

点击查看答案

（1）$P=\frac{3}{4}$；（2）$P=\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

方程 $x^2+2ax+b^2=0$ 有实根的充要条件是 $\Delta =4a^2-4b^2⩾0$，即 $a^2⩾b^2$．由 $a⩾0$，$b⩾0$，等价于 $a⩾b$． （1）基本事件总数 $4\times 3=12$．满足 $a⩾b$ 的：$b=0$ 时 $a$ 有 $4$ 个；$b=1$ 时 $a\in \{1,2,3\}$ 有 $3$ 个；$b=2$ 时 $a\in \{2,3\}$ 有 $2$ 个，共 $4+3+2=9$ 个． 所求概率 $P=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$． （2）$(a,b)$ 在矩形 $0⩽a⩽3$，$0⩽b⩽2$ 内均匀取值，全部区域面积 $3\times 2=6$．满足 $a⩾b$ 的区域面积为 ${\int }_0^{2}ada+{\int }_2^{3}2da=2+2=4,$ 故所求概率 $P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型与几何概型

核心方法：判别式转 $a⩾b$，分别枚举计数与面积作比

避坑指南：（1）按 $b$ 的取值分类数 $a$；（2）面积用定积分或割补；把几何概型当古典概型数点是致命错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同一方程背景串联两类概型是本题的设计亮点。

结论推广：$\Delta ⩾0$ 转化为参数不等式后，离散用计数、连续用测度。

方法推广：先化判别式条件，再按”有限对无限”选择概型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练(Links)

• 2015-新课标I卷文-04 单-古典概型
• 2014-新课标I卷文-13 填-古典概型