2007-江苏卷-06 单-函数对称性比大小

本题导读

本题考查函数图象的对称性，以及指数函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷） 设函数 $f(x)$ 定义在实数集上，它的图象关于直线 $x=1$ 对称，且当 $x⩾1$ 时，$f(x)=3^x-1$，则有 ()

A. $f\left(\frac{1}{3}\right)<f\left(\frac{3}{2}\right)<f\left(\frac{2}{3}\right)$　　　　　　　　　　B. $f\left(\frac{2}{3}\right)<f\left(\frac{3}{2}\right)<f\left(\frac{1}{3}\right)$

C. $f\left(\frac{2}{3}\right)<f\left(\frac{1}{3}\right)<f\left(\frac{3}{2}\right)$　　　　　　　　　　D. $f\left(\frac{3}{2}\right)<f\left(\frac{2}{3}\right)<f\left(\frac{1}{3}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 图象关于 $x=1$ 对称：$f(x)=f(2-x)$。
2. 三个自变量中只有 $\frac{3}{2}⩾1$；把 $\frac{1}{3},\frac{2}{3}$ 翻到对称位置 $\frac{5}{3},\frac{4}{3}$。
3. $3^x-1$ 在 $[1,+\infty )$ 递增，比较 $\frac{4}{3}<\frac{3}{2}<\frac{5}{3}$ 即可。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

图象关于直线 $x=1$ 对称，所以对任意 $x$，有 $f(x)=f(2-x)$． 于是 $f\left(\frac{1}{3}\right)=f\left(\frac{5}{3}\right)=3^{5/3}-1$，$f\left(\frac{2}{3}\right)=f\left(\frac{4}{3}\right)=3^{4/3}-1$，$f\left(\frac{3}{2}\right)=3^{3/2}-1$．由于 $3^x-1$ 在 $[1,+\infty )$ 上单调递增，而 $\frac{4}{3}<\frac{3}{2}<\frac{5}{3}$，所以 $f\left(\frac{2}{3}\right)<f\left(\frac{3}{2}\right)<f\left(\frac{1}{3}\right).$ 故选 B． （易错点：对称轴是 $x=1$，对称点是 $2-x$ 而不是 $-x$；比较大小必须先把所有自变量归到已知解析式的区间 $[1,+\infty )$ 内。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数对称性比大小

核心方法：对称轴化 f(2−x)=f(x) 归到已知段

避坑指南：对称轴 x=1 的对称点是 2−x 不是 −x；比较大小前必须把所有自变量”搬”进已知解析式的区间

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”函数的基本性质”

结论推广：图象关于 x=a 对称 ⟺ f(a−x)=f(a+x) 对一切 x 成立

方法推广：抽象函数比较大小三板斧：定对称、归区间、用单调

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练(Links)

• 2010-四川卷文-05 单-二次函数对称充要
• 2010-安徽卷文-06 单-二次函数图象符号
• 2010-江西卷文-08 单-反函数与图象对称