2007-江苏卷-13 填-三次函数闭区间最值

本题导读

本题考查导数研究函数的最值，以及三次函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷） 已知函数 $f(x)=x^3-12x+8$ 在区间 $[-3,3]$ 上的最大值与最小值分别为 $M$，$m$，则 $M-m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 求导并解驻点：$f^{\prime }(x)=3x^2-12=0$，$x=\pm 2$。
2. 闭区间上最值只需比较端点 $-3,3$ 与驻点 $-2,2$。
3. 计算 $M=24$，$m=-8$。

✅【答案】

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$32$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$． 在区间 $[-3,3]$ 内，函数的极值只需比较端点和驻点 $-2,2$ 处的函数值．逐一计算得 $f(-3)=17$，$f(-2)=24$，$f(2)=-8$，$f(3)=-1$．所以最大值 $M=24$，最小值 $m=-8$，从而 $M-m=24-(-8)=32.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数闭区间最值

核心方法：比较端点与驻点的函数值

避坑指南：闭区间最值候选只有端点和驻点；算 M−m 时注意负数最小值：m=−8，M−m=24−(−8)=32，减负号别丢

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”导数与函数最值”

结论推广：连续函数在闭区间上的最值必在端点或驻点取得

方法推广：三次函数最值套路：求导→解驻点→列表比较四值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2010-北京卷文-18 解-三次函数无极值点
• 2010-大纲卷I文-21 解-四次函数极值与单调
• 2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性