2007-江苏卷-14 填-点面距离等体积法

本题导读

本题考查点到平面的距离，以及棱锥的体积。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷） 正三棱锥 $P-ABC$ 高为 $2$，侧棱与底面 $ABC$ 成 $45^{\circ }$，则点 $A$ 到侧面 $PBC$ 的距离为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由高 $PO=2$ 与侧棱成角 $45^{\circ }$ 得 $AO=2$，进而底面边长 $s=2\sqrt{3}$。
2. $O$ 到 $BC$ 的距离 $OK=1$（内切圆半径），$PK=\sqrt{P{O}^2+O{K}^2}=\sqrt{5}$。
3. 先算 $V_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot PO=2\sqrt{3}$ 与 $S_{△PBC}=\sqrt{15}$。
4. 以 $△PBC$ 为底换算体积：$h=\frac{3V}{S_{△PBC}}$。

✅【答案】

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$\frac{6\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

设正三棱锥的顶点为 $P$，底面中心为 $O$，底面边长为 $s$．由于 $PO\perp$ 面 $ABC$，且侧棱 $PA$ 与底面所成的角为 $45^{\circ }$，在直角三角形 $PAO$ 中有 $PO=2$，$\tan 45^{\circ }=\frac{PO}{AO}$．故 $AO=2$． 对边长为 $s$ 的正三角形，中心到顶点的距离为 $\frac{s\sqrt{3}}{3}$，所以 $s=2\sqrt{3}$． 设 $K$ 为 $O$ 到 $BC$ 的垂足．正三角形的内切圆半径为 $\frac{s\sqrt{3}}{6}=1$，故 $OK=1$．因为 $PO\perp$ 面 $ABC$，所以 $PO\perp OK$，从而 $PK=\sqrt{P{O}^2+O{K}^2}=\sqrt{5}.$ 于是 $S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}{s}^2=3\sqrt{3}$， $V_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot PO=2\sqrt{3},$ 以及 $S_{△PBC}=\frac{1}{2}BC\cdot PK=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{15}.$ 设点 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离为 $h$．以三角形 $PBC$ 为底面计算体积，得 $V_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△PBC}h,h=\frac{3V_{P-ABC}}{S_{△PBC}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点面距离等体积法

核心方法：换底面算体积反求高

避坑指南：等体积法 h=3V/S：V 用”正着放”算，S 用”换底面”算；正三角形内切圆半径 r=s√3/6、外接圆半径 R=s√3/3 别记混

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”点到平面的距离”与棱锥体积

结论推广：三棱锥任意取底面体积不变，是求点面距的万能钥匙

方法推广：点面距问题：先看能否直接作垂线，作不出或难算就用等体积法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练(Links)

• 2010-上海卷文-06 填-四棱锥体积
• 2010-大纲卷I文-20 解-四棱锥垂直与二面角
• 2010-大纲卷II文-08 单-三棱锥线面角